Dada a PG (1, 3, 9, 27 e 81) determine a razão, o termo médio e a soma dos termos. 1. Razão da PG 2. Termo médio 3. Soma dos termos
Respostas
Ed 
ano passado
1. A razão da PG é obtida dividindo um termo pelo seu antecessor. Assim, a razão é 3/1 = 3. 2. Para encontrar o termo médio de uma PG, basta calcular a raiz quadrada do produto do primeiro e último termos. Neste caso, o termo médio é a raiz quadrada de (1 * 81) = √81 = 9. 3. A soma dos termos de uma PG finita é dada pela fórmula S = a*(q^n - 1) / (q - 1), onde a é o primeiro termo, q é a razão e n é o número de termos. Substituindo na fórmula, temos S = 1*(3^5 - 1) / (3 - 1) = 121.
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Associatividade: quando tem mais de dois fatores não importa a sua ordem, pois o resultado será o mesmo. Ex.: (3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2) = 30 Distributividade: quando temos que multiplicar e somar devemos iniciar o cálculo pela multiplicação, mesmo que a soma esteja dentro de parênteses. Ex.: 2 x (3 + 3) = (2 x 3) + (2 x 3) = 6 + 6 = 12. Elemento neutro: número 1, sendo que qualquer número multiplicado por ele resultará nele mesmo. 4 (fator) x 4 (fator) = 16 (produto) Observe que o exemplo também poderia ser representado: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. As propriedades da Multiplicação são: Divisão. DEFINIÇÃO. FRAÇÃO. Própria; Imprópria; Aparente; Mista; Equivalentes; Irredutível. A fração é uma representação de uma divisão. Na parte de cima dela, escrevemos quantas partes temos, e na parte de baixo, escrevemos em quantas partes o todo foi dividido. O número de cima de uma fração é conhecido como numerador, e o que está embaixo é o denominador. É possível realizar várias operações envolvendo a fração, como adição, multiplicação, subtração e divisão. Vale destacar que, de acordo com as características que as frações possuem, elas podem ser classificadas em: Conhecemos como fração a maneira de representar uma quantidade por meio de uma razão, ou seja, uma divisão, entre dois números. Em uma fração, o número de cima é conhecido como numerador e o número de baixo como denominador. Quando o numerador é menor que o denominador. Exemplos: Exemplos de fração. Tipos de Fração. (Lê-se 1 sobre 5.) (Lê-se 12 sobre 35.) (Lê-se 29 sobre 6.) Fração própria. Quando o numerador é maior que o denominador. Exemplos: Fração imprópria. Quando a divisão entre o numerador e o denominador for um número inteiro. Exemplos: Fração aparente. Todas as três frações são aparentes, pois sabemos que: Quando dividimos o numerador pelo denominador, nos três casos, encontramos um número inteiro como resposta. Quando representam a mesma parte em relação ao todo, ou seja, representam a mesma quantidade. Fração equivalentes. 1 5. 12 35. 29 6. 1 2. 5 11. 8 5. 11 2. 20 18. 8 8. 12 4. 15 3. 8 : 8 = 1 12 : 4 = 3 15 : 3 = 5. Note que as frações e representam a mesma parte de um objeto, logo, dizemos que elas são equivalentes. É possível perceber que, ao multiplicar o numerador e o denominador da fração por 2, encontraremos a fração . Dada uma fração, existem infinitas frações equivalentes a ela, e para encontrá-las, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número. FRAÇÃO. Quando não há nenhum número que divide o numerador e o denominador ao mesmo tempo. Dada uma fração, quando é possível dividir o numerador e o denominador por um mesmo número, o resultado é uma fração equivalente, logo, para escrevê-la na forma mais simples possível, dividimos o numerador e o denominador por um mesmo número, até que não exista nenhum número que os divida ao mesmo tempo. Quando isso acontece, encontramos uma fração irredutível. Frações irredutíveis. Encontraremos o menor número que divide 16 e 12 ao mesmo tempo, que, no caso, é o 4. Assim faremos uma simplificação dessa fração dividindo por 4 tanto o numerador quanto o denominador. É feita por um número inteiro seguido de uma fração, então escrevemos a parte inteira e a parte fracionária da quantidade. Exemplo: Fração mista. Essa fração representa 2 inteiros e. Chamamos de frações decimais aquelas cujo denominador é uma potência de 10, ou seja, é igual a 10 ou 100 ou 1000 e assim por diante. Alguns exemplos de frações decimais são: Fração decimais. Então a fração é a forma simplificada da fração anterior. Note que não há nenhum outro número diferente de 1 que divide tanto o 4 quanto o 3 ao mesmo tempo, então essa fração é irredutível. Como transformar as frações? Note, primeiramente, que a representação consiste em um número à esquerda, parte inteira, e uma fração própria à direita, parte fracionária. Em seguida, lembre-se que a fração é uma representação alternativa à divisão, usaremos isso para chegar na fração mista. Por exemplo: na fração quando dividimos 12 por 9, obtemos quociente 1 e resto 3. Utilizaremos esses resultados para fazermos nossa fração mista, o resto ficará na parte da fracionária e o quociente na parte inteira. Frações impróprias em mistas e vice-versa. 2 4. 4 8. 2 4. 4 8. 16 12. 16 12. : 4. : 4 =. 4 3. 4 3. 3 52. 3 5. 3 10. 15 100. 4 1000. 277 10000. 12 9. FRAÇÃO. Outro exemplo: a fração. Dividindo 45 por 20 obtemos quociente 2 e resto 5, logo, temos como resultado: Frações em números decimais e vice-versa. Para transformar uma fração em número decimal, basta fazer a divisão que ela representa. Por exemplo, a fração. Já notou que 20 dividido por 4 tem o mesmo resultado que 40 dividido por 8? Isso ocorre porque essas divisões são todas equivalentes a divisão de 5 por 1. Representando por frações teremos: Como reduzir frações? O processo inverso é mais simples. Para escrever o número decimal 1,2 em forma de fração, note que há apenas um número depois da vírgula, neste caso, teremos como denominador o número 1 seguido de um zero, ou seja: é a representação da divisão de 3 por 5. Efetuando tal operação, obtemos 0,6 como resposta. Deste modo, Nota-se que o numerador é “igual” ao número decimal inicial sem a vírgula. Do mesmo modo, 24,35 possui dois números depois da vírgula, então o denominador da fração terá dois zeros depois do 1: Todas essas frações são redutíveis até a última fração que é a irredutível (não dá para reduzi-la). Para chegar na fração irredutível devemos reduzir a fração dada até não ser aritmeticamente possível. Reduzir é achar os fatores comuns ao numerador e ao denominador e simplificá-los, como no exemplo: Verificamos que 8 era o fator em comum e o simplificamos, sempre indo de acordo com o conceito de que frações são divisões (8 dividido por 8 é 1). Vejamos outro exemplo: Calcular o MMC entre os denominadores; Trocar os denominadores antigos pelo MMC; Dividir o denominador atual pelo denominador anterior e multiplicar cada numerador pelos respectivos resultados; Somar ou subtrair os novos numeradores. Podemos separar a adição e a subtração de frações em dois casos. O primeiro deles é quando os denominadores são iguais, e o segundo é quando eles são diferentes. Só podemos somar/subtrair se os denominadores forem iguais, por isso para realizar tais operações seguimos o seguinte método: Soma e subtração de fração. Operações com frações. 45 20. 5 202. 3 5. = 0,6 3 5. 1,2 = 12 10. 24,35 = 2435 100. 20 4. 40 8. 5 1 = 5= =. 40 8. 8 x 5 8 x 1 = 5=. 24 60. 2 x 12 5 x 12=. 2 5=.
Suponha que uma turma de 20 alunos de um sexto ano possua exatamente 10 alunas do sexo feminino. O percentual de alunas do sexo feminino, nesta turma, é de 50%. Existem diversas formas de determinar essa taxa, uma delas é escrever a razão entre o número de alunas e o total de alunos na turma (o número total sempre será o denominador dessa fração) e encontrar a fração equivalente a ela com denominador igual a 100. Porcentagem é uma razão entre dois números com base 100. Seu símbolo principal é %. Podemos representar uma porcentagem ou uma taxa percentual de três maneiras distintas, sem qualquer perda de valor. Por exemplo, dada a porcentagem 10%, podemos realizar sua leitura como 10 porcento, o que equivale a 10 por cem ou à fração , que, por sua vez, é equivalente a 0,1, pois, dividindo o numerador pelo denominador, encontramos o quociente 0,1. Em resumo, podemos afirmar que: Nas porcentagens, 0% indica nada e 100% indicam a totalidade. Por exemplo, 100% dos alunos de uma turma de sexto ano do ensino fundamental têm mais de cinco anos de idade. Entretanto, 0% dos alunos dessa mesma turma têm mais de 20 anos de idade. O uso correto das porcentagens envolve, de certa forma, a comparação entre quantidades. Portanto, para saber qual é a taxa percentual de determinado número, é preciso saber dentro de que população esse número se encontra e qual o total de elementos dessa população. Representação percentual Analogamente, temos outros exemplos de porcentagens: Outro método é usar regra de três. Para isso, lembre-se de que o valor total sempre será igual a 100%. Ainda podemos fazer certas associações para tentar descobrir “de cabeça” algumas porcentagens mais fáceis. Na porcentagem acima, note que exatamente metade da turma é composta por alunas. Assim, metade dos 100% dessa turma é feminina, o que corresponde, portanto, a 50%. A melhor forma de determinar uma porcentagem, ou de encontrar um número que foi relacionado a uma porcentagem, é usando regra de três. Para isso, basta lembrar-se de que o valor total sempre é igual a 100%. Exemplo: queremos descobrir qual é a porcentagem de pessoas que prefere sorvete de morango e, em nossa pesquisa, de 250 pessoas entrevistadas, 150 disseram gostar desse sabor. Para descobrir a porcentagem de pessoas que responderam gostar do sorvete com sabor de morango, basta fazer: Regra de três e porcentagem 10% = 10 = 0,1 100 50% = 50 = 0,5 100 22% = 22 = 0,22 100 30% = 30 = 0,3 100 0,5% = 0,5 = 0,005 100 10 x 5 = 50 20 x 5 = 100 150 = x 250 100
Para a representação de um número em notação científica, é necessário seguir alguns passos:
a) 1,4 . 10 x 3,1 . 10 = (1,4 x 3,1) . 10 = 4,34 . 10
b) 2,5 . 10 x 2,3 . 10 = (2,5 x 2,3) . 10 = 5,75 . 10
c) 9,42 x 10 : 1,2 x 10 = (9,42 : 1,2) x 10 = 7,85 x 10
d) 8,64 x 10 : 3,2 x 10 = (8,64 : 3,2) x 10 = 2,7 x 10
Operações com notação científica
a) 3,3 . 10 + 4,8 . 10 = (3,3 + 4,8) . 10 = 8,1 . 10
b) 6,4 . 10 - 8,3 . 10 = (6,4 - 8,3) . 10 = - 1,9 . 10
Como calcular o MMC de dois números?
A) Comparar os múltiplos de cada número.
B) Realizar divisões sucessivas para encontrar os fatores e multiplicá-los.
C) Encontrar o menor número inteiro múltiplo de ambos.
D) Utilizar a fatoração para encontrar os múltiplos comuns.
Como a sequência acima já apresenta formato crescente, o próximo passo é identificar a idade de maior frequência: 2 jogadores têm 19 anos, outros 2 têm 23 anos e 3 deles apresentam 21 anos. Portanto, a moda do time de futebol é 21 anos (Mo = 21).
O que são sólidos platônicos?
Os sólidos platônicos são poliedros regulares em que suas faces são formadas por polígonos regulares e congruentes.
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