Determine se são transformações lineares T: IR² ⟶ IR² T(x,y) = (x + 2y, xy) T(x,y)= (x + 2y, 0) T(x,y) = (x² + 2y, y)

Para determinar se as transformações dadas são lineares, é necessário verificar se elas preservam a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Uma transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ² deve satisfazer as seguintes condições: 1. T(x + y) = T(x) + T(y) para todo x, y em ℝ² 2. T(kx) = kT(x) para todo k escalar e x em ℝ² Vamos analisar cada uma das transformações dadas: 1. T(x,y) = (x + 2y, xy) - T(x + y, z + w) = ((x + y) + 2(z + w), (x + y)(z + w)) = (x + 2y, xy) + (2z + 2w, zw) ≠ T(x,y) + T(z,w) Portanto, essa transformação não é linear. 2. T(x,y) = (x + 2y, 0) - T(x + y, z + w) = ((x + y) + 2(z + w), 0) = (x + 2y, 0) + (2z + 2w, 0) = T(x,y) + T(z,w) - T(kx, ky) = (kx + 2ky, 0) = k(x + 2y, 0) = kT(x,y) Portanto, essa transformação é linear. 3. T(x,y) = (x² + 2y, y) - T(x + y, z + w) = ((x + y)² + 2(z + w), z + w) = (x² + 2y, y) + (2z + 2w, w) ≠ T(x,y) + T(z,w) Portanto, essa transformação não é linear. Apenas a segunda transformação T(x,y) = (x + 2y, 0) é linear.