ÁLGEBRA LINEAR - ENTREGA 2 - 2025.01

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Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
 
ESAMC 
Regime especial - 2025.02 
 
Prof. Diogo Cirulli 
 
1. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais de 3 . 
  3, , | , , 1U a b c a c b a c      
  3, , | , , 2 3 5V a b c a b a b c     
  3,1,1 |K a a   
a) V é subespaço vetorial, U e K não são subespaços vetoriais; 
b) Ve U são subespaços vetoriais, K não é subespaço vetorial; 
c) U é subespaço vetorial, V e K não são subespaços vetoriais; 
d) V e K são subespaços vetoriais, U não é subespaço vetorial; 
e) V, U e K não são subespaços vetoriais. 
 
2. O elemento neutro para soma do espaço vetorial das funções reais é o(a): 
a) número zero; 
b) número identidade; 
c) função identicamente nula; 
d) conjunto vazio; 
e) determinante. 
 
3. Considere o conjunto M de matrizes 2x2 da forma 𝑎 1
1 𝑏
, com as seguintes operações de 
soma e multiplicação por escalar: 
𝑎 1
1 𝑏
+
𝑐 1
1 𝑑
=
𝑎 + 𝑐 1
1 𝑏 + 𝑑
 
𝑘 ∙
𝑎 1
1 𝑏
=
𝑘 ∙ 𝑎 1
1 𝑏
 
Assinale a alternativa FALSA: 
a) A soma de dois elementos de M está em M; 
b) 1 ∙ 𝑢 = 𝑢 vale para todo 𝑢 ≠ 0 ∈ 𝑀; 
c) Todo elemento de M possui inverso aditivo (negativo); 
d) M é um espaço vetorial; 
e) todas as alternativas são falsas. 
 
4. Quais os valores para  e fazem com que o vetor (8, 1, 2, 5) seja combinação linear de 
(+, 1, 1, ) e (2, 1, 0, 1)? 
a)  = 6 e  = -5; 
b)  = 2 e  = 0; 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
c) = -5 e  = 3; 
d)  = 3 e  = 2; 
e)  = 5 e  = -1. 
 
 
5. Escreva o vetor  10,7, 2v  

 como combinação linear de  1 5,0, 1v  

 e  2 0,7,0v 

. 
a) 1 22 1v v v 
  
; 
b) Sistema Incompatível; 
c) 1 21 2v v v 
  
; 
d) Infinitas soluções; 
e) 1 23 1v v v 
  
 . 
 
6. Escreva o vetor  4, 18,7v   

 como combinação linear de  1 1, 3,2v  

 e 
 2 2,4, 1v  

. 
a) Sistema Incompatível; 
b) 1 22 3v v v 
  
; 
c) 1 23 2v v v 
  
; 
d) Infinitas soluções; 
e) 1 22 3v v v 
  
. 
 
7. Escreva o vetor  4,3, 6v  

 como combinação linear de  1 1, 3,2v  

 e  2 2,4, 1v  

. 
a) Sistema Incompatível; 
b) 1 22 3v v v 
  
; 
c) 1 23 2v v v 
  
; 
d) Infinitas soluções; 
e) 1 22 3v v v 
  
. 
 
8. Para qual valor de ko vetor  1, , 7v k  

é combinação linear de  1 1, 3,2v  

 e 
 2 2,4, 1v  

. 
a) k = 7; 
b) k = 10; 
c) k = -7 ; 
d) k = 11; 
e) k = 13. 
 
9. Para qual valor de k o vetor  1, 2,v k 

 é combinação linear de  1 3,0, 2v  

 e 
 2 2, 1, 5v   

. 
a) k = 11; 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
b) k = 8; 
c) k = -8 ; 
d) k = -11; 
e)k = 7. 
 
10. Verifique se os vetores são linearmente dependentes ou independentes. Caso sejam 
linearmente dependentes escreva a equação da dependência linear: 
I.  1 1,0v 

,  2 0,1v 

 e  3 2,1v 

 
II.  1 3,0,0v 

,  2 4,3,0v 

 e  3 5,2,1v 

 
a) I é L.I. e II é L.D. sendo 1 2 35 0v v   
 
; 
b) I é L.D.sendo 1 2 32 0v v   
 
e II é L.I.; 
c) I é L.I. e II é L.I.; 
d) I é L.D.sendo 1 2 32 0v v    
 
e II é L.D. sendo 1 2 35 0v v   
 
; 
e) I é L.D. sendo 1 2 32 0v v    
 
e II é L.I. 
 
11. Verifique se os vetores são linearmente dependentes ou independentes. Caso sejam 
linearmente dependentes escreva a equação da dependência linear: 
I. 1
1 2
0 0
v
 
  
 

 e 2
0 0
5 0
v
 
  
 

 
II.  1 1, 2,4,3v  

 e  2 3,6, 12, 9v    

 
a) I. é L.I. e II é L.D. sendo 1 23 0v v 
 
; 
b) I. é L.D. sendo 1 22 0v v 
 
e II. é L.D. sendo 1 23 0v v 
 
; 
c) I. é L.I. e II. é L.I.; 
d) I. é L.D.sendo 1 22 0v v 
 
e II. é L.I.; 
e)I. é L.D. sendo 1 2 32 0v v    
 
e II. é L.I. 
 
12. Para cada caso, verifique se W é subespaço vetorial de V e responda a alterativa correta. 
I. 2V  e   , ; 2 , ,W x y y x x y   
II. 2V  e   2, ; , ,W x y y x x y   
a) W é subespaço vetorial de V em I. e II.; 
b) W não é subespaço vetorial de V em I. e II.; 
c) W é subespaço vetorial de V em I. e não é subespaço vetorial de V em II.; 
d) W não é subespaço vetorial de V em I. e é subespaço vetorial de V em II.; 
e) não há solução válida. 
 
13. Para cada caso, verifique se W é subespaço vetorial de V e responda a alterativa correta. 
I. 3V  e   , ,1 ,W x y x y  
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
II. 4V  e   , , ,2 ; , ,W a b c a b c  
a) W é subespaço vetorial de V em I. e II.; 
b) W não é subespaço vetorial de V em I. e II.; 
c)W é subespaço vetorial de V em I. e não é subespaço vetorial de V em II.; 
d) W não é subespaço vetorial de V em I. e é subespaço vetorial de V em II.; 
e) não há solução válida. 
 
14. Identifique quais conjuntos W são bases para os espaços vetoriais indicados. 
I. 3V  e       1,2, 4 , 2,0,5 , 3,1,7W   
II. 3V  e       3, 2,1 , 4,5, 3 , 7,3, 2W     
a) W não é base para V em I. e é base para V em II; 
b) W é base para V em I. e não é base para V em II; 
c)W não é base para V em I. e II; 
d) W é base para V em I. e II; 
e) não há solução válida. 
 
 
15. Identifique quais conjuntos W são bases para os espaços vetoriais indicados. 
I. 3V  e         1, 2,4 , 2,0,5 , 13,8,27 , 2,3, 4W   
II. 3V  e     13,8,27 , 2,3,4W  
a) W não é base para V em I. e é base para V em II; 
b)W é base para V em I. e não é base para V em II; 
c) W não é base para V em I. e II; 
d) W é base para V em I. e II; 
e) não há solução válida. 
 
 
16. Identifique quais conjuntos W são bases para os espaços vetoriais indicados. 
I. 2V  e       2,7 , 9,2 , 1, 4W   
II. 2V  e     7, 3 , 2,9W    
a) W não é base para V em I. e é base para V em II; 
b)W é base para V em I. e não é base para V em II; 
c) W não é base para V em I. e II; 
d) W é base para V em I. e II; 
e) não há solução válida. 
 
17. seja V o subespaço de R5 gerado pelos vetores u1= (1,2,1,0,1),u2= (0,1,1,2,1), u3 = (1,1,0,-
2,0) e u4 = (2,4,2,0,2). 
Qual dos seguintes conjuntos de vetores é uma base para V? 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
a) {u1, u2, u3, u4}; 
b) {u1, u2, u3}; 
c) {u1, u2, u4}; 
d) {u1, u2}; 
e) {u1, u4}. 
 
18. Considere V um espaço vetorial e v1 ,v2 ,v3 ,... vn elementos de V. Considere U o subespaço 
de V gerado por tais 
n elementos.Dizer que o conjunto (v1 ,v2 ,v3 ,...,vn) é linearmente dependenteé o mesmo que 
dizer que a dimensão do espaço 
a)U é igual a n; 
b) U é menor do que n; 
c)U é menor do que a dimensão do espaço V; 
d)V é menor do que a dimensão do espaço U; 
e)V é a dimensão do espaço U adicionada a n. 
 
19. Pode-se afirmar, sobre os vetores v1=(1,2,3,-1), v2=(-1,2,-3,-1), v3=(3,2,1,0) e v4=(16,8,24,-1) 
do R4, que 
a) geram um subespaço vetorial de dimensão 2; 
b) formam uma base do R4; 
c) v2 não é combinação linear de v1, v3 e v4; 
d) v4 é combinação linear de v1, v2 e v3; 
e) v1, v2 e v3 geram um subespaço vetorial de dimensão 2. 
 
20. Seja T uma transformação linear de R² em R² tal que T(u) = (-1,2) e T(v) = (0,3), 
onde u e v são vetores de R². Sendo a e b reais não nulos, tem-se queT(au + bv) é igual a: 
a) (– a, 2a+3b); 
b) (– a+2b, 3b); 
c) (– b, 2b+3a); 
d) (– b+2a, 3a); 
e) (– a, 5b). 
 
21. Seja T: V → W uma transformação linear. Analise as assertivas e assinale a alternativa que 
aponta as corretas. 
I. T leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W. 
II. Se  0 0T 
 
T, então T não é linear. 
III.  0 0T 
 
não é suficiente para que T seja linear. 
IV. Se V = IR e W = IR2, a transformação que leva x em (x,0) não é injetora. 
a) Apenas I, II e III; 
b) Apenas II, III e IV; 
c) Apenas I e II; 
d) Apenas I e III; 
e) Apenas III eIV. 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
 
22. Determine a transformação linear 2 3:T IR IR tal que    1,1 3,2,1T   e 
   0,1 1,1,0T  e encontre 2v IR tal que    2,1, 3T v    . 
a)    , 2 , ,T x y x y x y x    e  3, 4v   ; 
b)    , 2 , ,T x y x y x y x      e  3, 4v  ; 
c)    , 2 , ,T x y x y x y x    e  3, 4v   ; 
d)    , 2 , ,T x y x y x y x      e  3, 4v   ; 
e)    , 2 , ,T x y x y x y x    e  3, 4v   . 
 
23. Determine a transformação linear 3 2:T IR IR tal que    1, 1,0 1,1T   , 
   0,1,1 2, 2T  ,    0,0,1 3,3T  e encontre  1,0,0T . 
a)    , , 3 , 3T x y z y z y z    e    1,0,0 0,0T  ; 
b)    , , 3 , 3T x y z y z y z    e    1,0,0 1,0T   ; 
c)    , , 3 , 3T x y z y z y z    e    1,0,0 0,0T  ; 
d)    , , 3 , 3T x y z y z y z     e    1,0,0 1,0T  ; 
e)    , , 3 , 3T x y z y z y z     e    1,0,0 0,0T  . 
 
24. Seja 3 2:T IR IR transformação linear definida por    1,1,1 1,2T  , 
   1,1,0 2,3T  ,    1,0,0 3, 4T  , determine  , ,T x y z . 
a)    , , 3 ,4T x y z x y z x y z     ; 
b)    , , 4 ,3T x y z x y z x y z     ; 
c)    , , 3 ,4T x y z x y z x y z     ; 
d)    , , 3 ,4T x y z x y z x y z     ; 
e)    , , 3 ,4T x y z x y z x y z     . 
 
25. Seja T o operador linear em 3IR tal que    1,0,0 0,2,0T  ,    0,1,0 0,0, 2T   e 
   0,0,1 1,0,3T   . Determine  , ,T x y z e o vetor 3v IR tal que    5, 4, 9T v   . 
a)    , , , 2 , 2 3T x y z z x y z    e  2,3, 5v    ; 
b)    , , , 2 , 2 3T x y z z x y z   e  2, 3,5v   ; 
c)    , , , 2 , 2 3T x y z z x y z    e  2, 3, 5v    ; 
d)    , , , 2 , 2 3T x y z z x y z     e  2, 3, 5v     ; 
e)    , , , 2 , 2 3T x y z z x y z    e  2, 3, 5v    . 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
 
26. Determine a transformação linear 2 2:T P P tal que  1T x ,   21T x x  e 
 2 22T x x x  . 
a)      2 22T a bx cx b a c x b c x         ; 
b)      2 22T a bx cx b a c x b c x        ; 
c)      2 22T a bx cx b a c x b c x       ; 
d)      2 22T a bx cx b a c x b c x        ; 
e)      2 22T a bx cx b a c x b c x        . 
 
27. Dado o operador linear 2 2:T IR IR ,    , 2 ,4 2T x y x y x y   , quais dos seguintes 
vetores pertencem a  N T ? 
a) (1, -2) e (-2, 6); 
b) (-1, -2) e (2, -3); 
c) (1, -2) e (2, -3); 
d) (1, -2) e (-3, 6); 
e) (2, -3) e (-3, 6). 
 
28. Dado o operador linear 2 2:T IR IR ,    , 2 ,4 2T x y x y x y   , quais dos seguintes 
vetores pertencem a  Im T ? 
a) (2, 4) e (-1/2, -1); 
b) (2, 4) e (-1, 3); 
c) (-1, 3) e (-1/2, -1); 
d)(-1, 3) e (1, -1); 
e) (-2, 4) e (-1/2, -1). 
 
29. Dado o operador linear 2 3:T IR IR ,    , , , 2T x y x y x y  , determine  N T e 
 Im T . 
a)          ,3 / ; Im , , / 2 0N T x x x IR T x y z IR x y z       ; 
b)          0,0 ;Im , , / 2 0N T T x y z IR x y z      ; 
c)          0,0 ; Im , , / 2 2 0N T T x y z IR x y z      ; 
d)          , / ; Im , , / 2 2 0N T x x x IR T x y z IR x y z        ; 
e)          0,0 ; Im , , / 2 2 0N T T x y z IR x y z      . 
 
30. Dado o operador linear 3 3:T IR IR ,
   , , 2 , 2 , 3T x y z x y z x y z x z       , determine  N T e  Im T . 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
a)          33 , , / ; Im , , / 2 0N T z z z z IR T x y z IR x y z        ; 
b)          33 , 2 , / ; Im , , / 0N T z z z z IR T x y z IR x y z        ; 
c)          33 , , / ; Im , , / 2 0N T z z z z IR T x y z IR x y z       ; 
d)          33 , , / ; Im , , / 2 0N T z z z z IR T x y z IR x y z       ; 
e)          33 , , / ; Im , , / 2 0N T z z z z IR T x y z IR x y z         . 
 
31. Dado o operador linear 3 3:T IR IR ,    , , 3 , ,T x y z x y x z z x    , 
determine  N T e  Im T . 
a)          33 , , 3 / ; Im , , /N T x x x x IR T x y z IR y z       ; 
b)          33 , ,3 / ; Im , , /N T x x x x IR T x y z IR y z     ; 
c)          33 , ,3 / ; Im , , /N T x x x x IR T x y z IR y z      ; 
d)          33 , ,3 / ; Im , , /N T x x x x IR T x y z IR y z      ; 
e)          3, ,3 / ; Im , , /N T x x x x IR T x y z IR y z       . 
 
32. Dado o operador linear 3 2:T IR IR ,    , , 2 ,2T x y z x y z x y z     , 
determine  N T e  Im T . 
a)        2,3 , 5 / ; ImN T x x x x IR T IR    ; 
b)        2, 3 , 5 / ; ImN T x x x x IR T IR     ; 
c)          , 3 , 5 / ; Im ,3 /N T x x x x IR T x x x IR      ; 
d)        2, , 5 / ; ImN T x x x x IR T IR     ; 
e)          , , 5 / ; Im ,3 /N T x x x x IR T x x x IR      . 
 
33. Seja 
1 2
2 0
1 3
T
 
   
  
 a matriz canônica de uma transformação linear 2 3:T IR IR . Se 
   2,4 2T v   , calcular v. 
a) (-2, 0); 
b) (2, 1); 
c) (0, 1); 
d) (2, 0); 
e) (0, 0). 
 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
34. Seja T o operador linear dado pela matriz:
1 2 1
2 0 1
1 2 2
 
 
 
  
, determine  N T . 
a)      1, 2, 4 / N T z z IR    ; 
b)      2, 3, 4 / N T x x IR    ; 
c)      2,3, 4 / N T z z IR    ; 
d)      2, 1, 2 / N T y y IR    ; 
e)      2, 3, 4 / N T z z IR    . 
 
35. Determine os autovalores e autovetores do operador linear 𝑓: ℝ → ℝ , 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 +
2𝑦, −𝑥 + 4𝑦). 
a) 𝜆 = 3, 𝑣 = (𝑦, 𝑦); 𝜆 = 2, 𝑣 = (2𝑦, 𝑦); 
b) 𝜆 = 1, 𝑣 = (𝑦, 𝑦); 𝜆 = 4, 𝑣 = (2𝑦, 𝑦); 
c) 𝜆 = −3, 𝑣 = (𝑦, 𝑦); 𝜆 = 2, 𝑣 = (−2𝑦, 𝑦); 
d) 𝜆 = −1, 𝑣 = (2𝑦, 𝑦); 𝜆 = 1, 𝑣 = (2𝑦, 𝑦); 
e) 𝜆 = 3, 𝑣 = (2𝑦, 𝑦); 𝜆 = −2, 𝑣 = (𝑦, 𝑦). 
 
36. Determine os autovalores e autovetores do operador linear 𝑓: ℝ → ℝ , 𝑇(𝑥, 𝑦) = (5𝑥 −
𝑦, 𝑥 + 3𝑦). 
a) 𝜆 = 𝜆 = 2, 𝑣 = 𝑣 = (𝑦, 𝑦); 
b) 𝜆 = 1, 𝑣 = (2𝑥, 𝑥); 𝜆 = 4, 𝑣 = (𝑥, −𝑥); 
c) 𝜆 = 3, 𝑣 = (𝑥, 𝑥); 𝜆 = 2, 𝑣 = (−2𝑥, 𝑥); 
d) 𝜆 = 𝜆 = 4, 𝑣 = 𝑣 = (𝑥, 𝑥); 
e) 𝜆 = 1, 𝑣 = (2𝑦, 𝑦); 𝜆 = −2, 𝑣 = (𝑦, 𝑦). 
 
37. Determine os autovalores e autovetores do operador linear 𝑓: ℝ → ℝ , 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 +
𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧). 
a) 𝜆 = 𝜆 = 1, 𝑣 = 𝑣 = (𝑥, 𝑦, −𝑦); 𝜆 = 3, 𝑣 = 𝑦(1,1,2); 
b) 𝜆 = 𝜆 = −1, 𝑣 = 𝑣 = (𝑥, −𝑦, 𝑦); 𝜆 = 4, 𝑣 = 𝑥(1,1,2); 
c) 𝜆 = 𝜆 = 2, 𝑣 = 𝑣 = (𝑥, −𝑦, 𝑦); 𝜆 = 4, 𝑣 = 𝑥(1,1,2); 
d) 𝜆 = 𝜆 = 4, 𝑣 = 𝑣 = (𝑥, 𝑦, −𝑦); 𝜆 = 1, 𝑣 = 𝑥(1,2,1); 
e) 𝜆 = 𝜆 = 1, 𝑣 = 𝑣 = (𝑥, 𝑦, −𝑦); 𝜆 = 4, 𝑣 = 𝑥(1,1,2). 
 
38. Encontre os autovalores de 1 3
−1 5
. 
a) 𝜆 = 3 𝑒 𝜆 = −5; 
b) 𝜆 = 4 𝑒𝜆 = 2; 
c) 𝜆 = 2 𝑒 𝜆 = 2; 
d) 𝜆 = 1 𝑒 𝜆 = 3; 
e) 𝜆 = − 1 𝑒 𝜆 = −2. 
 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
39. Encontre os autovalores e os autovetores de 2 1
3 4
. 
a) 𝜆 = 1, 𝑣 = (−𝑦, 𝑦); 𝜆 = 5, 𝑣 = (𝑥, 3𝑥); 
b) 𝜆 = 3, 𝑣 = (𝑦, 𝑦); 𝜆 = 5, 𝑣 = (𝑥, 3𝑥); 
c) 𝜆 = 1, 𝑣 = (−𝑦, 𝑦); 𝜆 = 2, 𝑣 = (𝑥, −𝑥); 
d) 𝜆 = 3, 𝑣 = (2𝑦, 𝑦); 𝜆 = 5, 𝑣 = (𝑥, 3𝑥); 
e) 𝜆 = 1, 𝑣 = (−𝑦, 𝑦); 𝜆 = 5, 𝑣 = (𝑥, 𝑥). 
 
40. Encontre os autovalores e os autovetores da matriz A=
0 0 2
0 −1 0
2 0 0
. 
 
a)𝜆 = 1, 𝑣 = 𝑥(0,0,1); 𝜆 = −1, 𝑣 = 𝑦(0,1,0); 𝜆 = −2, 𝑣 = 𝑥(1,0, −1); 
b)𝜆 = 2, 𝑣 = 𝑥(1,0,1); 𝜆 = −1, 𝑣 = 𝑦(0,1,0); 𝜆 = −2, 𝑣 = 𝑥(1,0, −1); 
c)𝜆 = 2, 𝑣 = 𝑥(1,0,1);𝜆 = 1, 𝑣 = 𝑦(0, −1,0); 𝜆 = −2, 𝑣 = 𝑥(1,0, −1); 
d)𝜆 = 1, 𝑣 = 𝑥(1,0,1); 𝜆 = −2, 𝑣 = 𝑦(0,1,0); 𝜆 = 3, 𝑣 = 𝑥(−1,1, −1); 
e)𝜆 = 2, 𝑣 = 𝑥(−1,0,1); 𝜆 = 1, 𝑣 = 𝑦(0,1,0); 𝜆 = 2, 𝑣 = 𝑥(1,0, −1). 
 
41. Indique os autovalores de −1 2
−7 8
 
a) 𝜆 = 6, 𝜆 = 1; 
b) 𝜆 = 𝜆 = −1; 
c) 𝜆 = 3, 𝜆 = −3; 
d) 𝜆 = 1, 𝜆 = −1; 
e)𝜆 = 𝜆 = −6. 
 
42. Obter os autovalores de −8 −1
16 0
 
a) 𝜆 = 2, 𝜆 = 2; 
b) 𝜆 = 𝜆 = −4; 
c) 𝜆 = 0, 𝜆 = 5; 
d) 𝜆 = 𝜆 = 1; 
e)𝜆 = 𝜆 = −3. 
 
43. Escreva a equação característica da matriz −16 10
−16 8
. 
a) 𝜆 + 𝜆; 
b) 𝜆 + 𝜆 − 1; 
c) 𝜆 − 3𝜆 + 10; 
d) 𝜆 + 8𝜆 + 32; 
e) 𝜆 − 2𝜆 + 2. 
 
44. Determine os autovalores do operador linear 𝑓: ℝ → ℝ , 𝑓(𝑥, 𝑦) = (4𝑥 + 5𝑦, 2𝑥 + 𝑦). 
a) 𝜆 = 6 𝑒 𝜆 = −1; 
b) 𝜆 = 1 𝑒 𝜆 = −1; 
c) 𝜆 = 8 𝑒 𝜆 = −3; 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
d) 𝜆 = 2 𝑒 𝜆 = 3; 
e) 𝜆 = 5 𝑒 𝜆 = 6. 
 
45. Escreva o polinômio característico da matriz 
4 2 2
2 4 2
2 2 4
. 
a) (𝜆 – 1)2. (𝜆 + 3); 
b) (𝜆 – 3)2. (𝜆 – 5); 
c) (𝜆 – 2)2. (𝜆 – 8); 
d) (𝜆 – 9)2. (𝜆 – 2); 
e) (𝜆 + 2)2. (𝜆 – 1). 
 
46. Escreva o polinômio característico da matriz 
1 0 0
0 0 −1
0 −1 0
. 
 
a) (𝜆 – 3)2. (𝜆 + 6); 
b) (𝜆 – 1)2. (𝜆 – 2); 
c) (𝜆 – 3)2. (𝜆 – 8); 
d) (1 – 𝜆). (𝜆2 – 1); 
e) (𝜆 + 1)2. (𝜆 – 3). 
 
47. Escreva o polinômio característico da matriz 
7 −2 1
−2 10 −2
1 −2 7
. 
a) (1 – 𝜆). (𝜆2 – 3); 
b) (1 – 𝜆). (𝜆2 – 1); 
c) (6 – 𝜆). (𝜆2 – 1); 
d) (6 – 𝜆)2. (12 – 𝜆); 
e) (2 – 𝜆). (𝜆2 – 2). 
 
48. Calcule os autovalores de 
5 −1 0
0 −5 9
5 −1 0
 
a) 𝜆 = 𝜆 = 2, 𝜆 = 1; 
b) 𝜆 = 6, 𝜆 = −2, 𝜆 = 1; 
c) 𝜆 = 0, 𝜆 = 4, 𝜆 = −4; 
d) 𝜆 = 𝜆 = 𝜆 = 6; 
e) 𝜆 = 2, 𝜆 = −3, 𝜆 = 0. 
 
49. Mostre os autovalores de 
0 4 0
−1 −4 0
0 0 −2
 
a) 𝜆 = 𝜆 = 𝜆 = 1; 
b) 𝜆 = 𝜆 = 𝜆 = −3; 
c) 𝜆 = 𝜆 = 𝜆 − 7; 
d) 𝜆 = 𝜆 = 𝜆 = −2; 
e) 𝜆 = 𝜆 = 𝜆 = 5. 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
 
50. Calcule os valores próprios da transformação linear representada pela matriz 
7 −2 0
−2 6 −2
0 −2 5
. 
a) 𝜆 = 6, 𝜆 = 1, 𝜆 = 2; 
b) 𝜆 = 1, 𝜆 = 1, 𝜆 = −5; 
c) 𝜆 = 3, 𝜆 = 6, 𝜆 = 9; 
d) 𝜆 = 2, 𝜆 = 3, 𝜆 = − 4; 
e) 𝜆 = 5, 𝜆 = 6, 𝜆 = 2. 
 
 
 
51. Seja T = R2 → R2 uma transformação linear cuja matriz, em relação às bases canônicas, é 
𝐴 =
1 1
1 0
. 
Considere as seguintes afirmativas: 
1. O núcleo N(T) = {v ∈ R2; T(v) = 0 } contém apenas o vetor nulo. 
2. A transformação T é sobrejetiva. 
3. A transformação T possui dois autovalores distintos. 
4. A transformação T é diagonalizável. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras; 
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras; 
c) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras; 
d) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras; 
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
 
52. Seja T:R3 → R3 a transformação linear definida por𝑇(x, y, z) = (x + 2y + 3z, −x + 2y −
z, 3x + 2y + z). Pode-se afirmar, sobre T, que: 
a) é diagonalizável; 
b) tem um único autovalor real; 
c) tem dois autovalores reais; 
d) (1,0,1) é autovetor; 
e) não tem autovalores reais. 
 
53. Determine se a matriz 𝐴 =
3 2
4 1
 é diagonalizável. Caso seja, qual é a matriz de transição 
que a diagonaliza. 
a) é diagonalizável e 𝐷 =
5 0
0 −1
; 
b) não é diagonalizável; 
c) é diagonalizável e 𝐷 =
1 0
0 −1
; 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
d) é diagonalizável e 𝐷 =
1 0
0 −5
; 
e) é diagonalizável e 𝐷 =
5 0
0 1
. 
 
54. Determine se a matriz 𝐴 =
6 −4
3 −1
 é diagonalizável. Caso seja, qual é a matriz de 
transição que a diagonaliza. 
a) é diagonalizável e 𝐷 =
2 0
0 −3
; 
b) é diagonalizável e 𝐷 =
−2 0
0 3
; 
c) não é diagonalizável; 
d) é diagonalizável e 𝐷 =
−1 0
0 3
; 
e) é diagonalizável e 𝐷 =
2 0
0 3
. 
 
55. Determine se a matriz 𝐴 =
3 −1
1 1
 é diagonalizável. Caso seja, qual é a matriz de 
transição que a diagonaliza. 
a) é diagonalizável e 𝐷 =
1 0
0 1
; 
b) é diagonalizável e 𝐷 =
2 0
0 2
; 
c) não é diagonalizável; 
d) é diagonalizável e 𝐷 =
2 0
0 −2
; 
e) é diagonalizável e 𝐷 =
−1 0
0 1
. 
 
56. Determine se a matriz 𝐴 =
1 1 1
0 2 1
0 0 1
 é diagonalizável. Caso seja, qual é a matriz de 
transição que a diagonaliza. 
a) é diagonalizável e 𝐷 =
−1 0 0
0 2 0
0 0 1
; 
b) não é diagonalizável 
c) é diagonalizável e 𝐷 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2
; 
d) é diagonalizável e 𝐷 =
1 0 0
0 −2 0
0 0 1
; 
e) é diagonalizável e 𝐷 =
2 0 0
0 −1 0
0 0 1
. 
 
 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
57. Determine se a matriz 𝐴 =
−2 0 1
1 0 −1
0 1 −1
 é diagonalizável. Caso seja, qual é a matriz de 
transição que a diagonaliza. 
a) é diagonalizável e 𝐷 =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
; 
b) não é diagonalizável; 
c) é diagonalizável e 𝐷 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
; 
d) é diagonalizável e 𝐷 =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 0
; 
e) é diagonalizável e 𝐷 =
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
. 
 
58. Seja 𝑇: ℝ → ℝ dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦, −2𝑥 + 𝑦, 3𝑧), verifique se a 
transformação T é diagonalizável. Se sim, dê sua forma diagonal. 
a) é diagonalizável e 𝐷 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2
; 
b) é diagonalizável e 𝐷 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
; 
c) é diagonalizável e 𝐷 =
2 0 0
0 1 0
0 0 1
; 
d) é diagonalizável e 𝐷 =
2 0 0
0 −1 0
0 0 1
; 
e) não é diagonalizável. 
 
59. Considere 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) = , , 𝑧 . Determine P e Q tais que: 
(a) 𝑃 𝐴𝑃 =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
 e (b) 𝑄 𝐴𝑄 =
1 0 0
0 0 0
0 0 1
; 
a) 𝑃 =
1 0 −1
1 0 1
0 1 0
 e 𝑄 =
1 −1 0
1 1 0
0 0 1
; 
b) 𝑃 =
1 0 1
0 0 1
0 1 0
 e 𝑄 =
−1 1 1
1 1 0
0 0 1
; 
c) 𝑃 =
1 −1 0
1 1 0
0 0 1
 e 𝑄 =
1 0 −1
1 0 1
0 1 0
; 
d) 𝑃 =
1 0 −1
1 0 1
0 1 0
 e 𝑄 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
; 
e) 𝑃 =
−1 0 1
1 0 1
0 −1 0
 e 𝑄 =
1 −1 0
1 1 0
0 0 1
. 
 
 
Campinas | Franca | Goiânia | Jundiaí | Santos | São Paulo | Uberlândia 
60. Determine se a matriz 𝐴 =
1 4
2 3
 é diagonalizável. Caso seja, encontre uma matriz não 
singular S e uma matriz diagonal D tal que 𝑆 ∙ 𝐴 ∙ 𝑆 = 𝐷. 
a) não é diagonalizável 
b) 𝑆 =
−1 −1
1 2
 e 𝐷 =
1 0
0 5
; 
c) 𝑆 =
2 1
1 1
 e 𝐷 =
1 0
0 5
; 
d) 𝑆 =
−2 1
1 1
 e 𝐷 =
1 0
0 −5
; 
e) 𝑆 =
−2 1
1 1
 e 𝐷 =
−1 0
0 5
.