Vamos analisar cada afirmação: I. O limite de \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{(8 + x)^2 - 64}}{x} \) é igual a 16. Para resolver essa expressão, podemos expandir o termo \( (8 + x)^2 \) e simplificar a expressão. \( (8 + x)^2 = 64 + 16x + x^2 \) Substituindo na expressão original, temos: \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{64 + 16x + x^2 - 64}}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{16x + x^2}}{x} = \lim_{{x \to 0}} (16 + x) = 16 \) Portanto, a afirmação I está correta. II. Se \( f(x) = \frac{{x^3 + x + 1}}{x} \), então \( f'(x) = \frac{{2x^3 - 1}}{x^2} \). Para encontrar a derivada de \( f(x) \), é necessário aplicar a regra do quociente e a regra da potência. \( f'(x) = \frac{{3x^2 \cdot x - (x^3 + x + 1) \cdot 1}}{x^2} = \frac{{3x^3 - x^3 - x - 1}}{x^2} = \frac{{2x^3 - 1}}{x^2} \) Portanto, a afirmação II está correta. III. Se \( f(x) = 2x + 3 \), então \( f'(x) = 4x + 12 \). No entanto, na afirmação III foi indicado que \( f'(x) = 4x + 12x + 9 \), o que está incorreto. Portanto, a afirmação III está incorreta. Com base nas análises, as afirmações corretas são I e II. Portanto, a alternativa correta que contém todas as afirmações verdadeiras é: d) I e II, apenas.