Dados A(-1, -1) e B(3, 5) determine C (a) −→ AC = 1/2 −→ AB (b) −→ AC = 1/4 −→ AB (c) −→ AC = 2/3 −→ AB (d) −→ AC = 3/5 −→ BA

Para determinar o vetor \( \overrightarrow{AC} \), que é um múltiplo escalar de \( \overrightarrow{AB} \), podemos usar a fórmula: \[ \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] Onde \( k \) é o escalar que estamos procurando. Dado que A(-1, -1) e B(3, 5), podemos calcular \( \overrightarrow{AB} \) da seguinte forma: \[ \overrightarrow{AB} = \langle x_B - x_A, y_B - y_A \rangle \] \[ \overrightarrow{AB} = \langle 3 - (-1), 5 - (-1) \rangle \] \[ \overrightarrow{AB} = \langle 4, 6 \rangle \] Agora, para encontrar \( \overrightarrow{AC} \), precisamos multiplicar \( \overrightarrow{AB} \) por \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{4} \), \( \frac{2}{3} \) e \( \frac{3}{5} \) para verificar qual opção nos dá o vetor \( \overrightarrow{AC} \). Calculando \( \overrightarrow{AC} \) para cada opção: a) \( \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \cdot \langle 4, 6 \rangle = \langle 2, 3 \rangle \) b) \( \overrightarrow{AC} = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{4} \cdot \langle 4, 6 \rangle = \langle 1, \frac{3}{2} \rangle \) c) \( \overrightarrow{AC} = \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3} \cdot \langle 4, 6 \rangle = \langle \frac{8}{3}, 4 \rangle \) d) \( \overrightarrow{AC} = \frac{3}{5} \cdot \overrightarrow{BA} = \frac{3}{5} \cdot \langle -4, -6 \rangle = \langle -\frac{12}{5}, -\frac{18}{5} \rangle \) Portanto, a opção correta é a letra a) \( \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB} \).