Para determinar o campo vetorial gradiente de uma função \( f(x, y) = x^2y - y^3 \), precisamos calcular as derivadas parciais de \( f \) em relação a \( x \) e \( y \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 - 3y^2 \] Assim, o campo vetorial gradiente \( \nabla f \) é dado por: \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \mathbf{j} = (2xy) \mathbf{i} + (x^2 - 3y^2) \mathbf{j} \] Agora, analisando as alternativas: A. \( \nabla f = x y \mathbf{i} + (x^2 - 3y^2) \mathbf{j} \) - Incorreto, a derivada em relação a \( x \) está errada. B. \( \nabla f = 2x y \mathbf{i} + (x^2 - 3y^2) \mathbf{j} \) - Correto, corresponde ao que encontramos. C. \( \nabla f = 2x y \mathbf{i} + (x^2 + 3y^2) \mathbf{j} \) - Incorreto, o sinal do termo em \( y^2 \) está errado. D. \( \nabla f = -x y \mathbf{i} + (x^2 + 3y^2) \mathbf{j} \) - Incorreto, tanto o sinal quanto o termo em \( y^2 \) estão errados. E. \( \nabla f = x y \mathbf{i} - (x^2 + 3y^2) \mathbf{j} \) - Incorreto, tanto o sinal quanto o termo em \( y^2 \) estão errados. Portanto, a alternativa correta é: B. \( \nabla f = 2x y \mathbf{i} + (x^2 - 3y^2) \mathbf{j} \).