Para determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a média populacional com um erro amostral máximo de \( e = 2 \) e diferentes níveis de confiança, precisamos usar a fórmula do tamanho da amostra para médias: \[ n = \left( \frac{Z \cdot \sigma}{e} \right)^2 \] onde: - \( Z \) é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança, - \( \sigma \) é o desvio padrão da população, - \( e \) é o erro amostral. Vamos calcular o tamanho da amostra para cada variável: 1. Para a variável X: - \( \sigma = 7 \) (pois \( 49 = 7^2 \)) - Nível de confiança de 90,30%: \( Z \approx 1,65 \) - Cálculo: \[ n_X = \left( \frac{1,65 \cdot 7}{2} \right)^2 = \left( \frac{11,55}{2} \right)^2 = (5,775)^2 \approx 33,33 \Rightarrow n_X = 34 \] 2. Para a variável Y: - \( \sigma = 6,71 \) (pois \( 45 \approx 6,71^2 \)) - Nível de confiança de 88,12%: \( Z \approx 1,55 \) - Cálculo: \[ n_Y = \left( \frac{1,55 \cdot 6,71}{2} \right)^2 = \left( \frac{10,40}{2} \right)^2 = (5,20)^2 \approx 27,04 \Rightarrow n_Y = 28 \] 3. Para a variável W: - \( \sigma = 5,48 \) (pois \( 30 \approx 5,48^2 \)) - Nível de confiança de 97,96%: \( Z \approx 2,17 \) - Cálculo: \[ n_W = \left( \frac{2,17 \cdot 5,48}{2} \right)^2 = \left( \frac{11,93}{2} \right)^2 = (5,965)^2 \approx 35,56 \Rightarrow n_W = 36 \] Agora, precisamos escolher o maior tamanho de amostra entre \( n_X \), \( n_Y \) e \( n_W \) para garantir que todas as exigências sejam atendidas. Os tamanhos de amostra calculados são: - \( n_X = 34 \) - \( n_Y = 28 \) - \( n_W = 36 \) O maior valor é \( n_W = 36 \). Portanto, a alternativa que contém o menor tamanho de amostra que atende a essas exigências é a c) n = 34.