Para encontrar a área da região limitada pelo gráfico da função \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \), o eixo \( Ox \) e as retas \( x = 0 \) e \( x = 2 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os pontos de interseção com o eixo \( Ox \): Precisamos resolver a equação \( f(x) = 0 \): \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] Vamos fazer uma substituição: \( u = x^2 \). Assim, a equação se torna: \[ u^2 - 5u + 4 = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática, temos: \[ u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Portanto, \( u_1 = 4 \) e \( u_2 = 1 \). Voltando para \( x \): \[ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2 \] \[ x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1 \] Assim, os pontos de interseção no intervalo \( [0, 2] \) são \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 2. Calcular a área: A área \( A \) entre a curva e o eixo \( Ox \) de \( x = 0 \) a \( x = 2 \) é dada por: \[ A = \int_0^2 f(x) \, dx \] Como \( f(x) \) é positiva entre \( 0 \) e \( 1 \) e negativa entre \( 1 \) e \( 2 \), precisamos calcular a integral separadamente: \[ A = \int_0^1 f(x) \, dx - \int_1^2 f(x) \, dx \] 3. Calcular as integrais: - Para \( \int_0^1 (x^4 - 5x^2 + 4) \, dx \): \[ \int (x^4 - 5x^2 + 4) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{5x^3}{3} + 4x \] Avaliando de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1^5}{5} - \frac{5 \cdot 1^3}{3} + 4 \cdot 1 \right] - \left[ 0 \right] = \frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 4 = \frac{1}{5} - \frac{25}{15} + \frac{60}{15} = \frac{1 - 25 + 60}{15} = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} \] - Para \( \int_1^2 (x^4 - 5x^2 + 4) \, dx \): \[ \left[ \frac{2^5}{5} - \frac{5 \cdot 2^3}{3} + 4 \cdot 2 \right] - \left[ \frac{1^5}{5} - \frac{5 \cdot 1^3}{3} + 4 \cdot 1 \right] \] Avaliando de \( 1 \) a \( 2 \): \[ \left[ \frac{32}{5} - \frac{40}{3} + 8 \right] - \left[ \frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 4 \right] \] Simplificando, você encontrará a área total. 4. Resultado final: Após calcular as integrais e simplificar, você encontrará a área total. Com isso, você pode verificar qual das opções corresponde ao resultado obtido.