30) Mostrar que A(a; 2a – 1), B(a + 1; 2a + 1) e C(a + 2; 2a + 3) são colineares para qualquer valor de a real.

Question

Ed · Answer

Para mostrar que os pontos A(a; 2a – 1), B(a + 1; 2a + 1) e C(a + 2; 2a + 3) são colineares, podemos usar a condição de colinearidade que envolve o determinante. Os pontos A, B e C são colineares se o determinante da matriz formada por suas coordenadas for igual a zero.

Vamos montar a matriz:

$$
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \
x_2 & y_2 & 1 \
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & 2a - 1 & 1 \
a + 1 & 2a + 1 & 1 \
a + 2 & 2a + 3 & 1
\end{vmatrix}
$$

Calculando o determinante:

$$
= a \begin{vmatrix}
2a + 1 & 1 \
2a + 3 & 1
\end{vmatrix} - (2a - 1) \begin{vmatrix}
a + 1 & 1 \
a + 2 & 1
\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}
a + 1 & 2a + 1 \
a + 2 & 2a + 3
\end{vmatrix}
$$

Calculando cada um dos determinantes 2x2:

1. $ \begin{vmatrix}
2a + 1 & 1 \
2a + 3 & 1
\end{vmatrix} = (2a + 1)(1) - (2a + 3)(1) = 2a + 1 - 2a - 3 = -2 $

2. $ \begin{vmatrix}
a + 1 & 1 \
a + 2 & 1
\end{vmatrix} = (a + 1)(1) - (a + 2)(1) = a + 1 - a - 2 = -1 $

3. $ \begin{vmatrix}
a + 1 & 2a + 1 \
a + 2 & 2a + 3
\end{vmatrix} = (a + 1)(2a + 3) - (a + 2)(2a + 1) $

Calculando o terceiro determinante:

$$
= (2a^2 + 3a + 2a + 3) - (2a^2 + a + 4a + 2) = 2a^2 + 5a + 3 - (2a^2 + 5a + 2) = 1
$$

Agora, substituindo os valores no determinante 3x3:

$$
= a(-2) - (2a - 1)(-1) + 1(1) = -2a + 2a - 1 + 1 = 0
$$

Como o determinante é igual a zero, os pontos A, B e C são colineares para qualquer valor de $ a $ real.

Ed · Answer

Para mostrar que os pontos A(a; 2a – 1), B(a + 1; 2a + 1) e C(a + 2; 2a + 3) são colineares para qualquer valor real de a, podemos calcular a inclinação entre os pontos AB e BC e verificar se são iguais. Se as inclinações forem iguais, os pontos são colineares.

A inclinação entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por (y2 - y1) / (x2 - x1).

Calculando a inclinação entre os pontos A e B:
(y2 - y1) / (x2 - x1) = (2a + 1 - (2a - 1)) / (a + 1 - a) = (2a + 1 - 2a + 1) / 1 = 2

Calculando a inclinação entre os pontos B e C:
(y2 - y1) / (x2 - x1) = (2a + 3 - (2a + 1)) / (a + 2 - (a + 1)) = (2a + 3 - 2a - 1) / (a + 2 - a - 1) = 2

Como as inclinações são iguais (ambas são 2), os pontos A, B e C são colineares para qualquer valor real de a.

Geometria Analítica

30) Mostrar que A(a; 2a – 1), B(a + 1; 2a + 1) e C(a + 2; 2a + 3) são colineares para qualquer valor de a real.

1 Noções gerais

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1 Noções gerais

Calcule a distância entre os pontos dados:

a) (7,3) e (4,1)
b) (1,3) e (5,3)
c) (5,2) e (0,0)
d) (2,0) e (2,5)
e) (3,3) e (3,3)
f) (0,4) e (3,0)
g) (3,1) e (4,1)

Até que ponto o segmento de extremos A(1, -1) e B(4, 5) deve ser prolongado para que seu comprimento triplique?

Calcular o comprimento da mediana1 AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).

26) Sendo M(2, 1), N(3, 3) e P(6, 2) os pontos médios, respectivamente, dos lados AB, BC e CA, determine as coordenadas dos vértices A, B e C.

37) Determinar m e n de tal forma que P(m, n) seja colinear, simultaneamente, com A(-1, -2) e B(2, 1) e com C(-2, 1) e D(1, -4).

Ex.3: Obter a equação reduzida da reta que passa pelo ponto K(3, -1) e forma 45º com o eixo OX.
Resolução:

Já sabemos que m = 1, agora, tomando um ponto genérico (x, y) podemos escrever:

 
4
31
1
3
1





xy
yx
x
y

Assim, a equação procurada é y = x + 4.

48) Dentre os pontos A(5; -1), B(1; -5), C(-3; 3) e D(-2; 2), quais pertencem à reta da questão anterior?

50) Determine as equações reduzida e geral de uma reta que passa pela origem e pelo ponto (1; 7).

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Até que ponto o segmento de extremos A(1, -1) e B(4, 5) deve ser prolongado para que seu comprimento triplique?

Calcular o comprimento da mediana1 AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).

26) Sendo M(2, 1), N(3, 3) e P(6, 2) os pontos médios, respectivamente, dos lados AB, BC e CA, determine as coordenadas dos vértices A, B e C.

37) Determinar m e n de tal forma que P(m, n) seja colinear, simultaneamente, com A(-1, -2) e B(2, 1) e com C(-2, 1) e D(1, -4).

Ex.3: Obter a equação reduzida da reta que passa pelo ponto K(3, -1) e forma 45º com o eixo OX.Resolução:Já sabemos que m = 1, agora, tomando um ponto genérico (x, y) podemos escrever: 431131xyyxxyAssim, a equação procurada é y = x + 4.

48) Dentre os pontos A(5; -1), B(1; -5), C(-3; 3) e D(-2; 2), quais pertencem à reta da questão anterior?

50) Determine as equações reduzida e geral de uma reta que passa pela origem e pelo ponto (1; 7).

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e) (3,3) e (3,3)
f) (0,4) e (3,0)
g) (3,1) e (4,1)