Vamos analisar o problema passo a passo. 1. Números iniciais: Temos os números 1 e 2. 2. Operação: A cada segundo, os números são trocados pela soma de seus quadrados e pelo dobro de seu produto. - Para os números \( a = 1 \) e \( b = 2 \): - Soma dos quadrados: \( a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \) - Dobro do produto: \( 2ab = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 \) - Após 1 segundo, os novos números são 5 e 4. 3. Repetindo a operação: - No segundo 2, com \( a = 5 \) e \( b = 4 \): - Soma dos quadrados: \( 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41 \) - Dobro do produto: \( 2 \cdot 5 \cdot 4 = 40 \) - Novos números: 41 e 40. 4. Continuando o processo: - No terceiro segundo, com \( a = 41 \) e \( b = 40 \): - Soma dos quadrados: \( 41^2 + 40^2 = 1681 + 1600 = 3281 \) - Dobro do produto: \( 2 \cdot 41 \cdot 40 = 3280 \) - Novos números: 3281 e 3280. 5. Observando o crescimento: - O crescimento dos números é exponencial. A cada iteração, os números aumentam significativamente. 6. Estimativa: - Após algumas iterações, os números crescem rapidamente. Para alcançar \( 10^{50} \), considerando que o crescimento é exponencial, podemos estimar que isso levará mais do que algumas horas, mas menos do que anos. Analisando as opções: A) Sete segundos - muito pouco. B) Sete horas - pode ser possível, mas ainda é uma estimativa baixa. C) Sete dias - mais plausível. D) Sete meses - pode ser uma possibilidade. E) Sete anos - muito tempo. Dado o crescimento exponencial, a resposta mais razoável é C) Sete dias.