Para mostrar que a sequência (v1, v2, v3) é linearmente independente se e somente se a sequência (v1, v2, v3 + α · v1) é linearmente independente, podemos usar a definição de linearmente independência. Se a sequência (v1, v2, v3) é linearmente independente, então a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a equação a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 só tem solução para a1 = a2 = a3 = 0, então os vetores são linearmente independentes. Agora, vamos analisar a sequência (v1, v2, v3 + α · v1). Se essa sequência também for linearmente independente, então a equação b1v1 + b2v2 + b3(v3 + α · v1) = 0 só terá solução para b1 = b2 = b3 = 0. Podemos expandir essa equação para b1v1 + b2v2 + b3v3 + b3α · v1 = 0. Como os vetores v1, v2, v3 são linearmente independentes, a única forma de obter o vetor nulo é se b1 = b2 = b3 = 0, o que implica que a sequência (v1, v2, v3 + α · v1) também é linearmente independente. Portanto, a afirmação a) é verdadeira. Quanto à afirmação b), para mostrar que 〈v1, v2, v3〉 = 〈v1, v2, v3 + α · v1〉, é necessário verificar se ambos os conjuntos geram o mesmo subespaço vetorial. Isso pode ser feito verificando se um conjunto é subconjunto do outro e se ambos geram o mesmo espaço vetorial. Espero que isso ajude em seus estudos!