Determinar o valor de m para que o vetor ???? seja simultaneamente ortogonal aos → = (1, 2, ????) vetores ???? e nesta ordem. → = (2, − 1, 0) ???? → = (1, − 3, − 1)

Question

Determinar o valor de m para que o vetor ???? seja simultaneamente ortogonal aos → = (1, 2, ????) vetores ???? e nesta ordem. → = (2, − 1, 0) ???? → = (1, ...

Ed · Answer

Para que o vetor $\mathbf{v} = (1, 2, m)$ seja ortogonal aos vetores $\mathbf{u_1} = (2, -1, 0)$ e $\mathbf{u_2} = (1, -3, -1)$, precisamos que o produto escalar entre $\mathbf{v}$ e cada um dos vetores seja igual a zero.

1. **Produto escalar com $\mathbf{u_1}$**:
   $$
   \mathbf{v} \cdot \mathbf{u_1} = (1)(2) + (2)(-1) + (m)(0) = 2 - 2 + 0 = 0
   $$
   Isso é sempre verdadeiro, então não impõe restrição sobre $m$.

2. **Produto escalar com $\mathbf{u_2}$**:
   $$
   \mathbf{v} \cdot \mathbf{u_2} = (1)(1) + (2)(-3) + (m)(-1) = 1 - 6 - m = -5 - m
   $$
   Para que $\mathbf{v}$ seja ortogonal a $\mathbf{u_2}$, temos:
   $$
   -5 - m = 0 \implies m = -5
   $$

Portanto, o valor de $m$ que torna o vetor $\mathbf{v}$ ortogonal aos vetores dados é $m = -5$.

Ed · Answer

Para determinar o valor de m para que o vetor ? seja simultaneamente ortogonal aos vetores → = (1, 2, m), → = (2, -1, 0) e → = (1, -3, -1), podemos utilizar o conceito de produto escalar. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. Assim, temos:

? • → = 0
? • → = 0
? • → = 0

Substituindo os valores dos vetores, temos:

?(1) + 2(2) + m(0) = 0
?(2) + (-1)(-3) + 0(-1) = 0
?(1) + (-3)(-1) + (-1)(-1) = 0

Simplificando as equações, obtemos:

? + 4 = 0
2? + 3 = 0
? + 3 + 1 = 0

Resolvendo o sistema de equações, encontramos que ? = -4/3. Portanto, o valor de m para que o vetor ? seja ortogonal aos vetores dados é -4/3.

Geometria Analítica

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