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Lista 3 GA 1)Sejam os vetores a =(1,–m,–3),b =(m+3,4–m,1)e c =(m,–2,7).Determinar m para que a b =(a +b )c . RESP: m=2 2) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD . RESP: a) Paralelogramo b) 22,4463102 21 21 arccos 0 . 3)Determinar o valor de x para que os vetores 1v = x i –2 j +3k e 2v =2 i – j +2k , sejam ortogonais. RESP: x=–4 4) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a =(2,6,–1) e b =(0,–2,1). RESP: 3 2 , 3 1 , 3 2 c 5)Dados dois vetores a =(3,–1,5) e b =(1,2,–3), achar um vetor x , sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: x a =9, e x b =–4. RESP: x =(2,–3,0) 6) Dados u =(2,–3,–6) e v =3 i –4 j –4k , determine: a) a projeção algébrica de v sobre u ( norma do vetor projeção de v sobre u ); b) 0 vetor projeção de v sobre u . RESP: a)6 b) 6,3,2 7 6 7) Dados os vetores u =( –1,3,2),v =(1,5,–2) e w =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: a) u v b) v w c) v (u w ) d) ( v u )w e)(u + v )(u + w ) f) (u –w ) w RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) f)(–3,–13,18) 8)Determinar o vetor x , paralelo ao vetor ao vetor w =(2,–3,0) e tal que x u = v , onde u =(1,–1,0) e v =(0,0,2). 𝑥 = 𝑘𝑤 𝑒 𝑥 × 𝑢 = 𝑣 𝑥 × 𝑢 = | 𝑖 𝑗 𝑘 2𝑘 −3𝑘 0 1 −1 0 | = (0,0,2) (0, 0, −2𝑘 + 3𝑘) = (0,0,2) => −2𝑘 + 3𝑘 = 2 => 𝑘 = 2 𝑥 = 𝑘𝑤 => 𝑥 = 2(2, −3,0) RESP: x =(4.–6,0) 9) Determinar o vetor v , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 10)k7j2i(v . RESP: 1,5,7v 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣. 𝑎 = 0 𝑣. 𝑏 = 0 𝑒 𝑣. (1,2, −7) = 10 { 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 𝑥 + 2𝑦 − 7𝑧 = 10 A solução do sistema é (7,5,1). 10)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que wvu ,sendo )1,1,1(u e )1,1,2(w . RESP: v =(1,0,1) 11)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1v =(–1,–1,0) e 2v =(0,–1– 1). RESP: 1,1,1 3 1 RESP: v =(–8,–12,24) 12) Dados os vetores u =(1,1,1) e v =(2,3,4), calcular: a) A área do paralelogramo de determinado por u e v ; b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u . RESP: a)A= .a.u6 b) .c.u2h 13)Dados os vetores u =(2,1,1) e v =(1,1,), calcular o valor de para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 62 u.a.(unidades de área). RESP: =3 14)Qual é o valor de x para que os vetores a =(3,–x,–2), b =(3,2,x) e c =(1,–3,1) sejam coplanares. RESP: Para que sejam complanares a.(b x c)=0. det ([ 3 −𝑥 −2 3 2 𝑥 1 −3 1 ]) = 6 + 18 − 𝑥2 + 4 + 9𝑥 + 3𝑥 = 0 −𝑥2 + 12𝑥 + 28 = 0 x=14 ou x=–2 15)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AC,AB e AD . RESP: m=6 ou m=2
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