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Geometria Analítica

Colégio Objetivo

Dados A = (1, 0,−1), B = (2, 1, 2), C = (1, 3, 4) e D(x, y, z), determinar x, y e z de modo que se tenha −−→ AD = −−→ AB + −→ AC.

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Lista 1 (UNIDADE I - Algebra Vetorial) - Prof. Joseph
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Para determinar os valores de x, y e z de modo que se tenha −−→ AD = −−→ AB + −→ AC, podemos utilizar a propriedade de que a soma de dois vetores é igual a um terceiro vetor. Dado que A = (1, 0,−1), B = (2, 1, 2), C = (1, 3, 4) e D(x, y, z), podemos calcular os vetores −−→ AB e −−→ AC e então encontrar o vetor −−→ AD. Calculando os vetores: −−→ AB = B - A = (2-1, 1-0, 2-(-1)) = (1, 1, 3) −−→ AC = C - A = (1-1, 3-0, 4-(-1)) = (0, 3, 5) Somando os vetores −−→ AB e −−→ AC, obtemos: −−→ AB + −−→ AC = (1, 1, 3) + (0, 3, 5) = (1, 4, 8) Assim, para que −−→ AD seja igual a (1, 4, 8), temos que: −−→ AD = D - A = (x-1, y-0, z-(-1)) = (x-1, y, z+1) Igualando os vetores, temos: (x-1, y, z+1) = (1, 4, 8) Portanto, x = 2, y = 4 e z = 7. Assim, os valores de x, y e z que satisfazem a igualdade são x = 2, y = 4 e z = 7.

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Dados −→u = (1, 2, 3),−→v = (1, 0, 1) e −→w = (−1, 2,−2), calcular:
a) −→u +−→v b) 2←−v −−→w
c) 2−→u −−→v + 3−→w d) 3(2−→w −−→u )− 2(3−→v +−→w )

Verificar se −→u ,−→v e −→w são linearmente independentes ou linearmente dependentes nos casos:
a) −→u = (2, 1, 0),−→v = (−1, 1, 1) e −→w = (0, 3, 2)
b) −→u = (1, 1, 2),−→v = (1, 0, 1) e −→w = (0, 1, 3)
c) −→u = (0, 1, 2),−→v = (1, 2, 3) e −→w = (2, 3, 4).

Dados −→u = (4, 7, 3),−→v = (2, 2, 1) e −→w = (0,−5, 2), calcular
a) −→u · −→v b) −→v · −→w c) (−→u +−→v ) · −→w
d) −→u ×−→w e) |(−→u ×−→v )− (−→v ×−→w )| f) −→u · (−→v − 2−→w )
g) (−→u ×−→v )×−→w h) −→u × (−→v ×−→w ) i) −→u · (−→v ×−→w )
j) (−→u ×−→v ) · −→w k) (−→u +−→v ) · (−→v ×−→w ) l) [2−→u × (−→v −−→w )] · (−→u +−→w )

Dados os pontos A(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |−→v | = 7, sendo −→v = m−→AC +−−→BC.

Sendo |−→u | = 2, |−→v | = 3, |−→w | = 4, < (−→u ,−→v ) = 90◦ e < (−→v ,−→w ) = 30◦, calcule:
a) |−→u +−→v | b) vers(−→u +−→v ) c) (−→u +−→v ) · (−→u −−→v ) d) |−→u +−→v +−→w |

Calcular o ângulo entre os vetores −→a +2−→b −−→c e −−→a +−→b −2−→c , sabendo-se que |−→a | = |−→b | = |−→c | = 1 e que −→a ,−→b e −→c são mutuamente ortogonais.

33. Verificar, em cada caso, se A,B e C são colineares:
a) A = (1, 1, 2), B = (3, 0, 5) e C = (11,−4, 17)
b) A = (2,−1, 3), B = (4,−2, 0) e C = (−2, 1, 9)
c) A = (1, 0,−4), B = (3, 2,−2) e C = (7, 4, 4)

35. Calcular a e b de modo que os pontos A = (2, 3, 5), B = (3, 2, 8) e C = (a, b,−1) sejam colineares.

36. Verificar se A,B,C e D são pontos coplanares nos casos:
a) A = (1, 1, 0), B = (0, 2, 3), C = (2, 0,−1), D = (−1, 3, 5)
b) A = (2, 3, 4), B = (1,−1, 9), C = (5,−3, 7), D = (0, 3, 6)
c) A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 1), C = (3, 0, 1), D = (5, 7, 10)

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