33. Verificar, em cada caso, se A,B e C são colineares:
a) A = (1, 1, 2), B = (3, 0, 5) e C = (11,−4, 17)
b) A = (2,−1, 3), B = (4,−2, 0) e C = (−2, 1, 9)
c) A = (1, 0,−4), B = (3, 2,−2) e C = (7, 4, 4)

Question

33. Verificar, em cada caso, se A,B e C são colineares:
a) A = (1, 1, 2), B = (3, 0, 5) e C = (11,−4, 17)
b) A = (2,−1, 3), B = (4,−2, 0) e C = (−...

Ed · Answer

Para verificar se os pontos A, B e C são colineares, podemos usar o determinante formado pelos vetores AB e AC. Se o determinante for igual a zero, os pontos são colineares.

Vamos analisar cada alternativa:

**a)** A = (1, 1, 2), B = (3, 0, 5) e C = (11, −4, 17)

Os vetores são:
- AB = B - A = (3 - 1, 0 - 1, 5 - 2) = (2, -1, 3)
- AC = C - A = (11 - 1, -4 - 1, 17 - 2) = (10, -5, 15)

Agora, calculamos o determinante:

$$
\begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \
10 & -5 & 15
\end{vmatrix} = 2 \cdot (-5) - (-1) \cdot 10 = -10 + 10 = 0
$$

Os pontos A, B e C são colineares.

**b)** A = (2, −1, 3), B = (4, −2, 0) e C = (−2, 1, 9)

Os vetores são:
- AB = B - A = (4 - 2, -2 + 1, 0 - 3) = (2, -1, -3)
- AC = C - A = (-2 - 2, 1 + 1, 9 - 3) = (-4, 2, 6)

Calculando o determinante:

$$
\begin{vmatrix}
2 & -1 & -3 \
-4 & 2 & 6
\end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-4) = 4 - 4 = 0
$$

Os pontos A, B e C são colineares.

**c)** A = (1, 0, −4), B = (3, 2, −2) e C = (7, 4, 4)

Os vetores são:
- AB = B - A = (3 - 1, 2 - 0, -2 + 4) = (2, 2, 2)
- AC = C - A = (7 - 1, 4 - 0, 4 + 4) = (6, 4, 8)

Calculando o determinante:

$$
\begin{vmatrix}
2 & 2 & 2 \
6 & 4 & 8
\end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - 2 \cdot 6 = 8 - 12 = -4
$$

Os pontos A, B e C não são colineares.

Resumindo:
- a) Colineares
- b) Colineares
- c) Não colineares

Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!

Ed · Answer

Para verificar se três pontos A, B e C são colineares, é necessário verificar se o vetor formado por AB é um múltiplo escalar do vetor formado por AC. Se isso ocorrer, os pontos são colineares.

Vamos analisar cada caso:

a) A = (1, 1, 2), B = (3, 0, 5) e C = (11, -4, 17)
Calculando os vetores AB e AC:
AB = B - A = (3 - 1, 0 - 1, 5 - 2) = (2, -1, 3)
AC = C - A = (11 - 1, -4 - 1, 17 - 2) = (10, -5, 15)

Para verificar se são colineares, vamos analisar se AB é um múltiplo escalar de AC:
(2, -1, 3) = k(10, -5, 15)
Dividindo as coordenadas, temos:
2/10 = -1/-5 = 3/15
1/5 = 1/5 = 1/5

Como os quocientes são iguais, os pontos A, B e C são colineares.

Portanto, a alternativa correta é a) A = (1, 1, 2), B = (3, 0, 5) e C = (11, -4, 17).

Geometria Analítica

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Dados −→u = (1, 2, 3),−→v = (1, 0, 1) e −→w = (−1, 2,−2), calcular:
a) −→u +−→v b) 2←−v −−→w
c) 2−→u −−→v + 3−→w d) 3(2−→w −−→u )− 2(3−→v +−→w )

Dados A = (1, 0,−1), B = (2, 1, 2), C = (1, 3, 4) e D(x, y, z), determinar x, y e z de modo que se tenha
−−→ AD = −−→ AB + −→ AC.

Dados os pontos A(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |−→v | = 7, sendo −→v = m−→AC +−−→BC.

Sendo |−→u | = 2, |−→v | = 3, |−→w | = 4, < (−→u ,−→v ) = 90◦ e < (−→v ,−→w ) = 30◦, calcule:
a) |−→u +−→v | b) vers(−→u +−→v ) c) (−→u +−→v ) · (−→u −−→v ) d) |−→u +−→v +−→w |

Calcular o ângulo entre os vetores −→a +2−→b −−→c e −−→a +−→b −2−→c , sabendo-se que |−→a | = |−→b | = |−→c | = 1 e que −→a ,−→b e −→c são mutuamente ortogonais.

35. Calcular a e b de modo que os pontos A = (2, 3, 5), B = (3, 2, 8) e C = (a, b,−1) sejam colineares.

36. Verificar se A,B,C e D são pontos coplanares nos casos:
a) A = (1, 1, 0), B = (0, 2, 3), C = (2, 0,−1), D = (−1, 3, 5)
b) A = (2, 3, 4), B = (1,−1, 9), C = (5,−3, 7), D = (0, 3, 6)
c) A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 1), C = (3, 0, 1), D = (5, 7, 10)

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Dados −→u = (1, 2, 3),−→v = (1, 0, 1) e −→w = (−1, 2,−2), calcular:a) −→u +−→v b) 2←−v −−→wc) 2−→u −−→v + 3−→w d) 3(2−→w −−→u )− 2(3−→v +−→w )

Dados A = (1, 0,−1), B = (2, 1, 2), C = (1, 3, 4) e D(x, y, z), determinar x, y e z de modo que se tenha−−→ AD = −−→ AB + −→ AC.

Dados os pontos A(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |−→v | = 7, sendo −→v = m−→AC +−−→BC.

Sendo |−→u | = 2, |−→v | = 3, |−→w | = 4, < (−→u ,−→v ) = 90◦ e < (−→v ,−→w ) = 30◦, calcule:a) |−→u +−→v | b) vers(−→u +−→v ) c) (−→u +−→v ) · (−→u −−→v ) d) |−→u +−→v +−→w |

Calcular o ângulo entre os vetores −→a +2−→b −−→c e −−→a +−→b −2−→c , sabendo-se que |−→a | = |−→b | = |−→c | = 1 e que −→a ,−→b e −→c são mutuamente ortogonais.

35. Calcular a e b de modo que os pontos A = (2, 3, 5), B = (3, 2, 8) e C = (a, b,−1) sejam colineares.

36. Verificar se A,B,C e D são pontos coplanares nos casos:a) A = (1, 1, 0), B = (0, 2, 3), C = (2, 0,−1), D = (−1, 3, 5)b) A = (2, 3, 4), B = (1,−1, 9), C = (5,−3, 7), D = (0, 3, 6)c) A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 1), C = (3, 0, 1), D = (5, 7, 10)

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a) −→u +−→v b) 2←−v −−→w
c) 2−→u −−→v + 3−→w d) 3(2−→w −−→u )− 2(3−→v +−→w )

Dados A = (1, 0,−1), B = (2, 1, 2), C = (1, 3, 4) e D(x, y, z), determinar x, y e z de modo que se tenha
−−→ AD = −−→ AB + −→ AC.

Sendo |−→u | = 2, |−→v | = 3, |−→w | = 4, < (−→u ,−→v ) = 90◦ e < (−→v ,−→w ) = 30◦, calcule:
a) |−→u +−→v | b) vers(−→u +−→v ) c) (−→u +−→v ) · (−→u −−→v ) d) |−→u +−→v +−→w |

36. Verificar se A,B,C e D são pontos coplanares nos casos:
a) A = (1, 1, 0), B = (0, 2, 3), C = (2, 0,−1), D = (−1, 3, 5)
b) A = (2, 3, 4), B = (1,−1, 9), C = (5,−3, 7), D = (0, 3, 6)
c) A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 1), C = (3, 0, 1), D = (5, 7, 10)