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Geometria Analítica

Colégio Objetivo

Dados −→u = (1, 2, 3),−→v = (1, 0, 1) e −→w = (−1, 2,−2), calcular: a) −→u +−→v b) 2←−v −−→w c) 2−→u −−→v + 3−→w d) 3(2−→w −−→u )− 2(3−→v +−→w )

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Lista 1 (UNIDADE I - Algebra Vetorial) - Prof. Joseph
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UFBA

Respostas

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Para resolver as operações com os vetores dados, vamos realizar cada uma delas: a) −→u + −→v (1, 2, 3) + (1, 0, 1) = (1+1, 2+0, 3+1) = (2, 2, 4) b) 2←−v - −→w 2(1, 0, 1) - (-1, 2, -2) = (2*1, 2*0, 2*1) - (-1, 2, -2) = (2, 0, 2) - (-1, 2, -2) = (2+1, 0-2, 2+2) = (3, -2, 4) c) 2−→u - −→v + 3−→w 2(1, 2, 3) - (1, 0, 1) + 3(-1, 2, -2) = (2, 4, 6) - (1, 0, 1) + (-3, 6, -6) = (2-1, 4-0, 6-1) + (-3, 6, -6) = (1, 4, 5) + (-3, 6, -6) = (1-3, 4+6, 5-6) = (-2, 10, -1) d) 3(2−→w - −→u) - 2(3−→v + −→w) 3(2(-1, 2, -2) - (1, 2, 3)) - 2(3(1, 0, 1) + (-1, 2, -2)) 3(-2, 4, -4) - 2(3, 0, 3) + (-2, 4, -4) (-6, 12, -12) - (6, 0, 6) + (-2, 4, -4) (-6-6, 12-0, -12-6) + (-2, 4, -4) (-12, 12, -18) + (-2, 4, -4) (-12-2, 12+4, -18-4) (-14, 16, -22) Portanto, as respostas são: a) (2, 2, 4) b) (3, -2, 4) c) (-2, 10, -1) d) (-14, 16, -22)

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Dados A = (1, 0,−1), B = (2, 1, 2), C = (1, 3, 4) e D(x, y, z), determinar x, y e z de modo que se tenha
−−→ AD = −−→ AB + −→ AC.

Verificar se −→u ,−→v e −→w são linearmente independentes ou linearmente dependentes nos casos:
a) −→u = (2, 1, 0),−→v = (−1, 1, 1) e −→w = (0, 3, 2)
b) −→u = (1, 1, 2),−→v = (1, 0, 1) e −→w = (0, 1, 3)
c) −→u = (0, 1, 2),−→v = (1, 2, 3) e −→w = (2, 3, 4).

Dados −→u = (4, 7, 3),−→v = (2, 2, 1) e −→w = (0,−5, 2), calcular
a) −→u · −→v b) −→v · −→w c) (−→u +−→v ) · −→w
d) −→u ×−→w e) |(−→u ×−→v )− (−→v ×−→w )| f) −→u · (−→v − 2−→w )
g) (−→u ×−→v )×−→w h) −→u × (−→v ×−→w ) i) −→u · (−→v ×−→w )
j) (−→u ×−→v ) · −→w k) (−→u +−→v ) · (−→v ×−→w ) l) [2−→u × (−→v −−→w )] · (−→u +−→w )

Dados os pontos A(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |−→v | = 7, sendo −→v = m−→AC +−−→BC.

Sendo |−→u | = 2, |−→v | = 3, |−→w | = 4, < (−→u ,−→v ) = 90◦ e < (−→v ,−→w ) = 30◦, calcule:
a) |−→u +−→v | b) vers(−→u +−→v ) c) (−→u +−→v ) · (−→u −−→v ) d) |−→u +−→v +−→w |

Calcular o ângulo entre os vetores −→a +2−→b −−→c e −−→a +−→b −2−→c , sabendo-se que |−→a | = |−→b | = |−→c | = 1 e que −→a ,−→b e −→c são mutuamente ortogonais.

33. Verificar, em cada caso, se A,B e C são colineares:
a) A = (1, 1, 2), B = (3, 0, 5) e C = (11,−4, 17)
b) A = (2,−1, 3), B = (4,−2, 0) e C = (−2, 1, 9)
c) A = (1, 0,−4), B = (3, 2,−2) e C = (7, 4, 4)

35. Calcular a e b de modo que os pontos A = (2, 3, 5), B = (3, 2, 8) e C = (a, b,−1) sejam colineares.

36. Verificar se A,B,C e D são pontos coplanares nos casos:
a) A = (1, 1, 0), B = (0, 2, 3), C = (2, 0,−1), D = (−1, 3, 5)
b) A = (2, 3, 4), B = (1,−1, 9), C = (5,−3, 7), D = (0, 3, 6)
c) A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 1), C = (3, 0, 1), D = (5, 7, 10)

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