O número de pares ordenados (n,m) de inteiros tais que nm1000 >= que satisfazem à equação n/m + m/n = 1 é igual a: (A) 30 (B) 31 (C) 32 (D) 33 (E) 34

Para resolver essa questão, podemos analisar a equação dada e encontrar os pares ordenados de inteiros que a satisfazem. A equação dada é: n/m + m/n = 1 Multiplicando ambos os lados por mn, obtemos: n^2 + m^2 = mn Reorganizando os termos, temos: n^2 - mn + m^2 = 0 Essa equação nos lembra a forma da equação quadrática, e podemos tentar resolver considerando n como uma incógnita e m como uma constante. Assim, temos uma equação quadrática em n: n^2 - mn + m^2 = 0 Calculando o discriminante Δ = m^2 - 4m^2 = -3m^2 Para que a equação tenha soluções inteiras, o discriminante deve ser um quadrado perfeito. Assim, -3m^2 deve ser um quadrado perfeito. Os possíveis valores de m que tornam -3m^2 um quadrado perfeito são 0, -3 e -12. Para m = 0, não há solução inteira. Para m = -3, temos n = 3 e n = 0, que não são inteiros. Para m = -12, temos n = 6 e n = -2, que são inteiros. Portanto, o número de pares ordenados de inteiros que satisfazem à equação é 2. Assim, a alternativa correta é (A) 30.