Para analisar a convergência ou divergência das séries apresentadas, vamos considerar cada uma delas separadamente. (a) ∑∞ n=1(−1)n √ n: Esta é uma série alternada. Para aplicar o teste da série alternada (Teste de Leibniz), precisamos verificar se os termos \( b_n = \sqrt{n} \) são decrescentes e convergem para zero. Como \( \sqrt{n} \) não converge para zero, a série diverge. (b) ∑∞ n=1( n2n−1 )n: Essa série pode ser reescrita como \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \). Podemos aplicar o teste da razão. O limite da razão dos termos \( a_n = \frac{n}{2^n} \) é \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{1}{2} < 1 \). Portanto, a série converge. (c) ∑∞ n=1 1/(n+1) √ n: Para essa série, podemos usar o teste da comparação. Sabemos que \( \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} \sim \frac{1}{n^{3/2}} \) para grandes \( n \). A série \( \sum \frac{1}{n^{3/2}} \) converge (pelo teste p, com \( p = 3/2 > 1 \)). Portanto, a série original também converge. (d) ∑∞ n=1 sen(n)/(3^n): Aqui, podemos usar o teste da razão novamente. Como \( |sen(n)| \leq 1 \), temos \( |a_n| \leq \frac{1}{3^n} \). A série \( \sum \frac{1}{3^n} \) converge (é uma série geométrica com razão \( r = \frac{1}{3} < 1 \)). Portanto, a série original também converge. Resumindo: - (a) Diverge (Teste de Leibniz) - (b) Converge (Teste da razão) - (c) Converge (Teste da comparação) - (d) Converge (Teste da razão) Se precisar de mais detalhes sobre algum teste específico, é só avisar!