Questão 4/10 - Álgebra Linear Considere o conjunto formado pelos vetores v 1 = ( 1 , − 3 , 4 ) , v 2 = ( 3 , 2 , 1 ) e v 3 = ( 1 , − 1 , 2 ) . De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa: I.( )Os vetores v 1 , v 2 e v 3 são linearmente independentes. II.( )Os vetores v 1 , v 2 e v 3 são linearmente dependentes. III. ( ) O conjunto { v 1 , v 2 , v 3 } forma uma base para o R 3 . Agora, marque a sequência correta. A V-F-F B V-V-F C V-F-V D F-V-F E F-V-V

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Questão 4/10 - Álgebra Linear Considere o conjunto formado pelos vetores  v 1 = ( 1 , − 3 , 4 ) ,   v 2 = ( 3 , 2 , 1 )   e   v 3 = ( 1 , − 1 , 2 )...

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre os vetores $ v_1 = (1, -3, 4) $, $ v_2 = (3, 2, 1) $ e $ v_3 = (1, -1, 2) $:

I. ( ) Os vetores $ v_1 $, $ v_2 $ e $ v_3 $ são linearmente independentes.  
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

II. ( ) Os vetores $ v_1 $, $ v_2 $ e $ v_3 $ são linearmente dependentes.  
Se a afirmativa I for verdadeira, esta será falsa, e vice-versa.

III. ( ) O conjunto { $ v_1 $, $ v_2 $, $ v_3 $ } forma uma base para $ \mathbb{R}^3 $.  
Para que um conjunto de vetores forme uma base para $ \mathbb{R}^3 $, eles devem ser linearmente independentes e o número de vetores deve ser igual a 3.

Agora, vamos calcular o determinante da matriz formada pelos vetores:

$$
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 1 \
-3 & 2 & -1 \
4 & 1 & 2
\end{vmatrix}
$$

Calculando o determinante, temos:

$$
= 1 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) - 3 \cdot (-3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1)) + 1 \cdot (-3 \cdot 1 - 4 \cdot 2)
$$
$$
= 1 \cdot (4 + 1) - 3 \cdot (-6 + 4) + 1 \cdot (-3 - 8)
$$
$$
= 5 + 3 \cdot 2 - 11
$$
$$
= 5 + 6 - 11 = 0
$$

Como o determinante é igual a zero, isso significa que os vetores são linearmente dependentes.

Portanto, temos:
- I: F (falsa)
- II: V (verdadeira)
- III: F (falsa)

A sequência correta é: D) F - V - F.

Ed · Answer

Para determinar se os vetores $v_1 = (1, -3, 4)$, $v_2 = (3, 2, 1)$ e $v_3 = (1, -1, 2)$ são linearmente independentes ou dependentes, e se formam uma base para $\mathbb{R}^3$, podemos realizar algumas operações.

1. Para verificar se os vetores são linearmente independentes ou dependentes, podemos formar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

$$
\text{det}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \ -3 & 2 & -1 \ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 1(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) - 3(3 \cdot 2 - (-1) \cdot 4) + 1(-3 \cdot 1 - 2 \cdot 4) = 2 + 21 - 11 = 12 \neq 0
$$

Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

2. Para verificar se esses vetores formam uma base para $\mathbb{R}^3$, precisamos verificar se eles são linearmente independentes e se geram todo o espaço $\mathbb{R}^3$. Como já verificamos que são linearmente independentes, basta verificar se eles geram todo o espaço $\mathbb{R}^3$. Como temos 3 vetores em $\mathbb{R}^3$, se eles são linearmente independentes, eles formam uma base para $\mathbb{R}^3$.

Com base nisso, a sequência correta é: B) V-V-F.

Álgebra Linear

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