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Matemática Discreta

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Exercício 3. Verifique que (i) há casos em que P→ Q é verdadeira, mas sua recíproca Q→ P é falsa; e vice-versa; (ii) há casos em que P→ Q é verdadeira, mas sua inversa (¬P)→ (¬Q) é falsa; (iii) a sentença P→ Q e sua contrapositiva (¬Q)→ (¬P) têm sempre o mesmo valor lógico.

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Para verificar as afirmações do exercício, é importante entender os conceitos de implicação lógica, recíproca, inversa e contrapositiva. Vamos analisar cada caso: (i) Para o caso em que P→Q é verdadeira, mas sua recíproca Q→P é falsa, podemos considerar P como "é um número par" e Q como "é divisível por 2". Assim, se um número é par, ele é divisível por 2 (P→Q é verdadeira), mas se um número é divisível por 2, não necessariamente ele é par (Q→P é falsa). (ii) Para o caso em que P→Q é verdadeira, mas sua inversa (¬P)→(¬Q) é falsa, podemos usar os mesmos exemplos do item anterior. Se um número é par, então ele é divisível por 2 (P→Q é verdadeira), mas se um número não é par, não necessariamente ele não é divisível por 2 ((¬P)→(¬Q) é falsa). (iii) A sentença P→Q e sua contrapositiva (¬Q)→(¬P) sempre têm o mesmo valor lógico, ou seja, se uma é verdadeira, a outra também é, e se uma é falsa, a outra também é falsa. Isso ocorre devido às propriedades da contrapositiva. Espero que essas explicações ajudem a compreender melhor os conceitos abordados no exercício.

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Lista de Matemática Discreta Demostrações: linguagem Exercício 1. Sejam P e Q as sentenças “a eleição foi decidida” e “os votos foram contados”, respectivamente. Expresse cada uma das sentenças simbólicas abaixo como uma sentença em português (i) ¬P (ii) ¬(P) ∧ Q (iii) (¬P)→ (¬Q) (iv) (¬Q) ∨ ((¬P) ∧ Q)

Exercício 5. Escreva as afirmações abaixo na forma simbólica, definindo e atribuindo símbolos aos predicados e definindo os domínios dos quantificadores. (a) Alguns estudantes não gostam de lógica. (b) Cada pessoa tem uma mãe. (c) Entre todos os inteiros existem alguns que são primos. (d) Um dia do próximo mês é domingo. (e) Alguns inteiros são pares e divisíveis por 3. (f) Alguns inteiros são pares ou divisíveis por 3. (g) x2 − 14 = 0 tem uma solução positiva. (h) Toda solução de x2 − 14 = 0 é positiva. (i) Nenhuma solução de x2 − 14 = 0 é positiva. (j) Todo estudante de direito tem um celular. (k) Ninguém é perfeito. (l) Alguém é perfeito. (m) Todos os nossos amigos são perfeitos. (n) Algum de nossos amigos é perfeito. (o) Todos são nossos amigos e são perfeitos. (p) Ninguém é nosso amigo ou alguém não é perfeito.

Exercício 6. Sejam N o conjunto dos números naturais, e suponha que P(x) significa “ x é par”, Q(x) significa “x é divisível por 3”, R(x) significa “x é divisível por 4” e S(x, y) é “x + 2 > y”. Escreva em português cada uma das sentenças a seguir, e determine seu valor-verdade: (a) (∀x ∈ N)P(x). (b) (∀x ∈ N)(P(x) ∨ Q(x)). (c) (∀x ∈ N)(P(x)→ Q(x)). (d) (∀x ∈ N)(P(x) ∨ R(x)). (e) (∀x ∈ N)(P(x) ∧ R(x)). (f) (∀x ∈ N)(R(x)→ P(x)). (g) (∀x ∈ N)(P(x)→ ¬Q(x)). (h) (∀x ∈ N)(P(x)→ P(x + 2)). (i) (∀x ∈ N)(R(x)→ R(x + 4)). (j) (∀x ∈ N)(Q(x)→ Q(x + 1)). (k) (∃x ∈ N)R(x) (l) (∃x ∈ N)(P(x) ∨ Q(x)). (m) (∃x ∈ N)(P(x)→ Q(x)). (n) (∃x ∈ N)(Q(x)→ Q(x + 1)). (o) (∃x ∈ N)(P(x)→ Q(x + 1)). (p) (∃x ∈ N)(∀y ∈ N)S(x, y). (q) (∃x ∈ N)(∃y ∈ N)S(x, y). (r) (∃y ∈ N)(∀x ∈ N)S(x, y).

Exercício 7. Para sentenças A, B, C, P, Q, R verifique as equivalências e implicações lógicas: Leis de identidade A∧V ⇔ A (1) B∨ F ⇔ B (2) Leis de dominação A∨V ⇔ V (3) B∧ F ⇔ F (4) Leis de idempotência A∨ A ⇔ A (5) B∧ B ⇔ B (6) Dupla negação ¬(¬A)⇔ A (7) Leis distributivas A∧ (B∨ C) ⇔ (A∧ B) ∨ (A∧ C) (8) A∨ (B∧ C) ⇔ (A∨ B) ∧ (A∨ C) (9) Leis comutativas A∧ B ⇔ B∧ A (10) A∨ B ⇔ B∨ A (11) Leis associativas A∧ (B∧ C) ⇔ (A∧ B) ∧ C (12) A∨ (B∨ C) ⇔ (A∨ B) ∨ C (13) Leis de DeMorgan ¬(A∨ B) ⇔ (¬A) ∧ (¬B) (14) ¬(A∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B) (15) Leis de absorção A∨ (A∧ B) ⇔ A (16) A∧ (A∨ B) ⇔ A (17) Leis de inversa A∨ ¬(A) ⇔ V (18) A∧ ¬(A) ⇔ F (19) Equivalências para Provas por contradição (P→ Q) ⇔ ((P ∧ ¬Q)→ (R ∧ ¬R)) (20) (P→ Q) ⇔ ((P ∧ ¬Q)→ ¬P) (21) (P→ Q) ⇔ ((P ∧ ¬Q)→ Q) (22) Negação de quantificadores ¬(para todo x ∈ X, P(x)) ⇔ existe x ∈ X,¬P(x) (23) ¬(existe x ∈ X, P(x)) ⇔ para todo x ∈ X,¬P(x) (24) Contrapositiva (A→ B)⇔ ((¬B)→ (¬A)) (25) Lei da adição P⇒ (P ∨ Q) (26) Lei da simplificação P ∧ Q⇒ P (27) Silogismo hipotético ((A→ B) ∧ (B→ C))⇒ (A→ C) (28) Modus Tollens ((A→ B) ∧ ¬B)⇒ ¬A (29) Silogismo disjuntivo (P ∨ Q) ∧ ¬P⇒ Q (30)

Exercício 10. A equação (23) diz que a sentença para todo x ∈ X, A(x) é falsa se e somente se existe x ∈ X, ¬A(x) é verdadeira, ou seja, a sentença para todo x ∈ X, A(x) é falsa se e somente se podemos encontrar um x0 ∈ X tal que A(x0) é uma sentença falsa. Tal x0 é chamado de contraexemplo para ∀x ∈ X, A(x). Determine um contraexemplo para: (a) ∀x ∈ R, |x| , 0; (b) ∀x ∈ R, x2 > x; (c) ∀x ∈ N, x2 ≥ x; (d) ∀x ∈ {3, 5, 7, 9}, x + 3 ≥ 7; (e) ∀x ∈ {3, 5, 7, 9}, x é primo.

Exercício 11. Verifique se é um argumento válido: (a) A→ B A→ C ∴ A→ (B∧ C) (b) ¬R(c) ∀t ∈ D(P(t)→ Q(t)) ∀t ∈ D(Q(t)→ R(t)) ∴ ¬P(c)

Exercício 1. Sejam P e Q as sentenças “a eleição foi decidida” e “os votos foram contados”, respectivamente. Expresse cada uma das sentenças simbólicas abaixo como uma sentença em português
(i) ¬P (ii) ¬(P) ∧ Q (iii) (¬P)→ (¬Q) (iv) (¬Q) ∨ ((¬P) ∧ Q)

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