Para determinar a série de Taylor para a função \( f(x) = \sqrt{1+x} \) em torno de \( x = 0 \), podemos usar a fórmula geral da série de Taylor: \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots \] Neste caso, \( a = 0 \) e queremos encontrar a série de Taylor para \( f(x) = \sqrt{1+x} \) em torno de \( x = 0 \). Calculando as derivadas de \( f(x) = \sqrt{1+x} \), temos: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \] \[ f''(x) = -\frac{1}{4(1+x)^{3/2}} \] \[ f'''(x) = \frac{3}{8(1+x)^{5/2}} \] Substituindo na fórmula da série de Taylor, obtemos: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \] \[ = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + \ldots \] Portanto, a série de Taylor para \( f(x) = \sqrt{1+x} \) em torno de \( x = 0 \) é: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2}(-1)^n \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} x^n \] Dentre as opções fornecidas, a alternativa correta que representa a série de Taylor para \( f(x) = \sqrt{1+x} \) em torno de \( x = 0 \) é a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2}(-1)^n \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} x^n \).