É possível determinar se uma série sum from n equals 1 to infinity of a subscript n é divergente a partir do critério do termo geral, porém não é possível, por esse mesmo critério, confirmar se a série é convergente. A respeito do assunto, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas. I. ( ) Se sum from n rightwards arrow 1 to infinity of a subscript n é convergente, então limit as n rightwards arrow infinity of a subscript n not equal to 0 . II. ( ) Se limit as n rightwards arrow infinity of a subscript n not equal to 0 commao então sum from n rightwards arrow 1 to infinity of a subscript n é divergente. III. ( ) Se a subscript n rightwards arrow 0, então sum from n rightwards arrow 1 to infinity of a subscript n é convergente. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. a. V, V, F. b. F, V, F. c. V, V, V. d. F, F, F. e. F, V, V.

Question

É possível determinar se uma série sum from n equals 1 to infinity of a subscript n é divergente a partir do critério do termo geral, porém não é p...

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre a convergência e divergência de séries:

I. ( ) Se a soma de $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ é convergente, então $ \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 $. Essa afirmativa é falsa (F). Na verdade, se a série é convergente, o limite do termo geral $ a_n $ deve ser igual a 0.

II. ( ) Se $ \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 $, então $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ é divergente. Essa afirmativa é verdadeira (V). Se o limite do termo geral não é zero, a série não pode convergir.

III. ( ) Se $ a_n \to 0 $, então $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ é convergente. Essa afirmativa é falsa (F). O fato de $ a_n $ tender a 0 não garante a convergência da série; existem séries que divergem mesmo com os termos tendendo a 0, como a série harmônica.

Portanto, a sequência correta é: F, V, F.

A alternativa que apresenta essa sequência é: b) F, V, F.

Ed · Answer

Vamos analisar cada afirmativa:

I. ( ) Se a série ∑ aₙ é convergente, então lim n→∞ aₙ ≠ 0.
Esta afirmação é falsa. A condição lim n→∞ aₙ ≠ 0 não é suficiente para garantir a convergência de uma série, pois existem séries convergentes em que o limite dos termos é igual a zero.

II. ( ) Se lim n→∞ aₙ ≠ 0, então a série ∑ aₙ é divergente.
Esta afirmação é verdadeira. Se o limite dos termos da série é diferente de zero, então a série é divergente pelo critério do termo geral.

III. ( ) Se aₙ → 0, então a série ∑ aₙ é convergente.
Esta afirmação é falsa. O fato de os termos da série tenderem a zero não garante a convergência da série, pois é possível que a série seja divergente mesmo com os termos convergindo para zero.

Portanto, a sequência correta é: b) F, V, F.

Espanhol

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