Seja uma PG na qual o 1º- termo é 2, o último é 256 e a soma dos termos é 510. Qual é o valor da razão dessa PG?

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica (PG): \[ S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} \] onde: - \( S_n \) é a soma dos termos, - \( a_1 \) é o primeiro termo, - \( q \) é a razão, - \( n \) é o número de termos. Dado: - \( a_1 = 2 \) - Último termo \( a_n = 256 \) - Soma \( S_n = 510 \) Primeiro, precisamos encontrar \( n \) (o número de termos). O último termo de uma PG pode ser expresso como: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \] Substituindo os valores: \[ 256 = 2 \cdot q^{n-1} \] Dividindo ambos os lados por 2: \[ 128 = q^{n-1} \] Agora, substituímos na fórmula da soma: \[ 510 = \frac{2 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} \] Multiplicando ambos os lados por \( q - 1 \): \[ 510(q - 1) = 2(q^n - 1) \] Expandindo: \[ 510q - 510 = 2q^n - 2 \] Rearranjando: \[ 2q^n - 510q + 508 = 0 \] Agora, sabemos que \( q^{n-1} = 128 \), então \( q^n = 128q \). Substituindo isso na equação: \[ 2(128q) - 510q + 508 = 0 \] Isso se simplifica para: \[ 256q - 510q + 508 = 0 \] \[ -254q + 508 = 0 \] Resolvendo para \( q \): \[ 254q = 508 \] \[ q = \frac{508}{254} = 2 \] Portanto, o valor da razão \( q \) da PG é 2.