05. ESPM-SP modificadoConsidere as funções f (x) = log2x e g (x) = x2 – 2x, definidas para todo x real estritamente positivo. Se f [b] = 3 , a 0 e b = g(2a), podemos afirmar que:a. f (a) = 0b. g (a) = 3c. f (a) + g (a) = 2d. g (a) = 1e. f (a) = 1

Question

05. ESPM-SP modificado
Considere as funções f (x) = log2x  e g (x) = x2 – 2x, definidas para todo x real estritamente positivo. Se f [b] = 3 , a > ...

Ed · Answer

Vamos analisar as funções dadas e as informações fornecidas.

1. A função $ f(x) = \log_2 x $ e sabemos que $ f[b] = 3 $. Isso significa que:
   $$
   \log_2 b = 3 \implies b = 2^3 = 8.
   $$

2. A função $ g(x) = x^2 - 2x $. Sabemos que $ b = g(2a) $, então precisamos encontrar $ g(2a) $:
   $$
   g(2a) = (2a)^2 - 2(2a) = 4a^2 - 4a.
   $$
   Como $ b = 8 $, temos:
   $$
   4a^2 - 4a = 8 \implies 4a^2 - 4a - 8 = 0 \implies a^2 - a - 2 = 0.
   $$
   Resolvendo essa equação quadrática:
   $$
   (a - 2)(a + 1) = 0 \implies a = 2 \text{ ou } a = -1.
   $$
   Como $ a > 0 $, temos $ a = 2 $.

3. Agora, vamos calcular $ g(a) $ e $ f(a) $:
   - Para $ g(a) $:
   $$
   g(2) = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0.
   $$
   - Para $ f(a) $:
   $$
   f(2) = \log_2 2 = 1.
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:
a) $ f(a) = 0 $ - FALSO, pois $ f(2) = 1 $.
b) $ g(a) = 3 $ - FALSO, pois $ g(2) = 0 $.
c) $ f(a) + g(a) = 2 $ - FALSO, pois $ 1 + 0 = 1 $.
d) $ g(a) = 1 $ - FALSO, pois $ g(2) = 0 $.
e) $ f(a) = 1 $ - VERDADEIRO, pois $ f(2) = 1 $.

Portanto, a alternativa correta é: **e) f(a) = 1**.

Ed · Answer

Analisando a questão, temos que f(b) = 3 e b = g(2a). Vamos resolver passo a passo:

1. Encontrar o valor de b:
b = g(2a)
b = (2a)² - 2(2a)
b = 4a² - 4a

2. Calcular f(b):
f(b) = log2(b)
f(b) = log2(4a² - 4a)
f(b) = log2(4(a² - a))
f(b) = log2(4) + log2(a² - a)
f(b) = 2 + log2(a² - a)
Como f(b) = 3, temos:
2 + log2(a² - a) = 3
log2(a² - a) = 1
a² - a = 2
a² - a - 2 = 0
(a - 2)(a + 1) = 0
a = 2 ou a = -1

Como a > 0, temos que a = 2.

Agora, vamos verificar as afirmações:
a) f(a) = 0
f(2) = log2(2) = 1 ≠ 0
b) g(a) = 3
g(2) = 2² - 2*2 = 4 - 4 = 0 ≠ 3
c) f(a) + g(a) = 2
log2(2) + (2)² - 2*2 = 1 + 4 - 4 = 1 ≠ 2
d) g(a) = 1
g(2) = 0 ≠ 1
e) f(a) = 1
log2(2) = 1 (correto)

Portanto, a alternativa correta é: e) f(a) = 1.

Matemática

EspecialAmarelo-02-Aplicacao-411

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

EspecialAmarelo-02-Aplicacao-411

01. Unifoa-RJ Seja f a função definida no intervalo aberto ( – 1; +1 ) por f(x) = x / (1 – x). Então f – 1/3 é:

a. – 2
b. 1/2
c. – 1/2
d. 1/3
e. – 1/3

03. UFES O gráfico da função real dada pela expressão f(x) = x / (x^2 + 1) – 1 pode ser representado por:

a. y = x
b. y = x - 1
c. y = x + 1
d. y = -x + 1
e. y = -x + 1

Seja f(x) = x e g(x ) = x|x|– 2x +1 funções definidas para todo número real. O número de pontos de intersecção, entre os gráficos de f(x) e g(x), é:

a. zero.
b. um.
c. dois.
d. três.
e. quatro.

Resolva em  a inequação |x| > x.

a. S = { x ∈  / x < 0} = –
b. S = { x ∈  / x > 0} = +
c. S = { x ∈  / x ≥ 0} = +
d. S = { x ∈  / x ≤ 0} = –
e. S = { x ∈  / x ≠ 0} = *

Determine as raízes da função f:  → , definida por f(x) = 1 – | x – 2 |.

As raízes da equação |x|2 + |x| − 12 = 0:

a. têm soma igual a zero.
b. são negativas.
c. têm soma igual a um.
d. têm produto igual a menos doze.
e. são positivas.

Se ab = ba, em que a e b são números naturais maiores do que 1, então:

a. a = b
b. logab = ab
c. logab = b/a
d. b é necessariamente par.
e. a é necessariamente ímpar.

02. Uma possível representação gráfica da função definida por f(x) = log10x é:

a. y
x0 1
b. y
x0
1
c. y
x0
1
d. y
x0
1
e. y
x0
–1

Mais conteúdos dessa disciplina

Matemática

EspecialAmarelo-02-Aplicacao-411

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

EspecialAmarelo-02-Aplicacao-411

01. Unifoa-RJ Seja f a função definida no intervalo aberto ( – 1; +1 ) por f(x) = x / (1 – x). Então f – 1/3 é:a. – 2b. 1/2c. – 1/2d. 1/3e. – 1/3

03. UFES O gráfico da função real dada pela expressão f(x) = x / (x^2 + 1) – 1 pode ser representado por:a. y = xb. y = x - 1c. y = x + 1d. y = -x + 1e. y = -x + 1

Seja f(x) = x e g(x ) = x|x|– 2x +1 funções definidas para todo número real. O número de pontos de intersecção, entre os gráficos de f(x) e g(x), é:a. zero.b. um.c. dois.d. três.e. quatro.

Resolva em  a inequação |x| > x.a. S = { x ∈  / x < 0} = –b. S = { x ∈  / x > 0} = +c. S = { x ∈  / x ≥ 0} = +d. S = { x ∈  / x ≤ 0} = –e. S = { x ∈  / x ≠ 0} = *

Determine as raízes da função f:  → , definida por f(x) = 1 – | x – 2 |.

As raízes da equação |x|2 + |x| − 12 = 0:a. têm soma igual a zero.b. são negativas.c. têm soma igual a um.d. têm produto igual a menos doze.e. são positivas.

Se ab = ba, em que a e b são números naturais maiores do que 1, então:a. a = bb. logab = abc. logab = b/ad. b é necessariamente par.e. a é necessariamente ímpar.

02. Uma possível representação gráfica da função definida por f(x) = log10x é:a. yx0 1b. yx01c. yx01d. yx01e. yx0–1

Mais conteúdos dessa disciplina

01. Unifoa-RJ Seja f a função definida no intervalo aberto ( – 1; +1 ) por f(x) = x / (1 – x). Então f – 1/3 é:

a. – 2
b. 1/2
c. – 1/2
d. 1/3
e. – 1/3

03. UFES O gráfico da função real dada pela expressão f(x) = x / (x^2 + 1) – 1 pode ser representado por:

a. y = x
b. y = x - 1
c. y = x + 1
d. y = -x + 1
e. y = -x + 1

Seja f(x) = x e g(x ) = x|x|– 2x +1 funções definidas para todo número real. O número de pontos de intersecção, entre os gráficos de f(x) e g(x), é:

a. zero.
b. um.
c. dois.
d. três.
e. quatro.

Resolva em  a inequação |x| > x.

a. S = { x ∈  / x < 0} = –
b. S = { x ∈  / x > 0} = +
c. S = { x ∈  / x ≥ 0} = +
d. S = { x ∈  / x ≤ 0} = –
e. S = { x ∈  / x ≠ 0} = *

As raízes da equação |x|2 + |x| − 12 = 0:

a. têm soma igual a zero.
b. são negativas.
c. têm soma igual a um.
d. têm produto igual a menos doze.
e. são positivas.

Se ab = ba, em que a e b são números naturais maiores do que 1, então:

a. a = b
b. logab = ab
c. logab = b/a
d. b é necessariamente par.
e. a é necessariamente ímpar.

02. Uma possível representação gráfica da função definida por f(x) = log10x é:

a. y
x0 1
b. y
x0
1
c. y
x0
1
d. y
x0
1
e. y
x0
–1