EspecialAmarelo-02-Aplicacao-411

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<p>Matemáti ca</p><p>Su</p><p>m</p><p>ár</p><p>io 411</p><p>Módulo 09 Função modular 7</p><p>Módulo 10 Equação e inequação modular 11</p><p>Módulo 11 Equações exponenciais 14</p><p>Módulo 12 Logaritmos – Definição 17</p><p>Módulo 13 Propriedades de logaritmos 20</p><p>Módulo 14 Logaritmos – Equações 23</p><p>Módulo 15 Função exponencial 26</p><p>Módulo 16 Função logarítmica 31</p><p>412</p><p>Módulo 09 Semelhança entre triângulos 36</p><p>Módulo 10 Relações métricas na circunferência 39</p><p>Módulo 11 Relações métricas no triângulo retângulo 43</p><p>Módulo 12 Lei dos senos e dos cossenos 47</p><p>Módulo 13 Polígonos regulares 50</p><p>Módulos 14/15 Área de figuras planas 54</p><p>Módulo 16 Prismas 63</p><p>413</p><p>Módulo 05 Adição de arcos e arco duplo 69</p><p>Módulo 06 Arcos trigonométricos 73</p><p>Módulo 07 Equações trigonométricas em 	 78</p><p>Módulo 08 Números complexos: forma algébrica 81</p><p>7</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>1. Introdução</p><p>Tanto na Matemática quanto na Física, na resolução de</p><p>dive rsos problemas, precisamos avaliar apenas a distância</p><p>entre dois pontos, cálculo de velocidade etc. Nesses casos, o</p><p>uso de valor absoluto de um número real é muito útil.</p><p>2. Módulo ou valor absoluto de um número real</p><p>Considerando um eixo real, o módulo (ou valor absolu-</p><p>to) de um número real é igual a distância do ponto que</p><p>representa esse número real nesse eixo até a origem.</p><p>Denota-se o módulo (ou valor absoluto) de x por |x|.</p><p>Exemplos:</p><p>Calcule:</p><p>a) |85|;</p><p>b) |– 85|.</p><p>Resolução</p><p>85 85unidades unidades</p><p>� ����� ����� � ����� ����� →</p><p>–– 85 0 85</p><p>a) |85|= 85, pois a distância de 85 até o zero é igual a 85;</p><p>b) |– 85|= 85, pois a distância de – 85 até o zero é</p><p>igual a 85.</p><p>Note que a distância de um número real não negativo até</p><p>o zero é dada pelo próprio número e a distância de um</p><p>número real negativo até o zero é dada pelo oposto desse</p><p>número. Assim, pode-se definir:</p><p>|x| = x, se x ≥ 0;</p><p>|x| = – x, se x < 0.</p><p>Exemplos:</p><p>Calcule:</p><p>a) |1 – 8|</p><p>b) | 8 – 1 |.</p><p>Resolução</p><p>a) |1 – 8 |</p><p>Como 8 = 2 · 2 e 2 · 2 > 1, temos que 1 – 8 é</p><p>um número negativo.</p><p>Assim: |1 – 8 |= – (1 – 8 ) = – 1 + 8</p><p>b) | 8 – 1 |</p><p>Como 8 = 2 · 2 e 2 · 2 > 1, temos que 8 – 1 é</p><p>um número positivo.</p><p>Assim: | 8 – 1 |= 8 – 1</p><p>3. Uma propriedade importante</p><p>x x2 = , para qualquer valor real de x.</p><p>Exemplos:</p><p>1) ( )– –8 64 8 82 = = =</p><p>2) 8 64 8 82 = = =</p><p>4. Função modular</p><p>Chama-se função modular a função f: IR → IR definida</p><p>pela lei f(x) = |x|.</p><p>5. Gráfico de função modular</p><p>Para construir o gráfico da função modular, vamos fazer</p><p>duas considerações:</p><p>1ª: para x ≥ 0, temos f(x) = |x| = x (figura 1)</p><p>2ª: para x < 0, temos f(x) = |x| = – x (figura 2)</p><p>y</p><p>x</p><p>Bissetriz do</p><p>1º quadrante</p><p>Figura 1</p><p>y</p><p>x</p><p>Bissetriz do</p><p>2º quadrante</p><p>Figura 2</p><p>Assim, o gráfico da função modular é constituído pela</p><p>reunião dos dois gráficos anteriores (figura 3).</p><p>y</p><p>x</p><p>45°</p><p>0</p><p>45°</p><p>Figura 3</p><p>MÓDULO 09 FUNÇÃO MODULAR</p><p>8</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>01.</p><p>Obter uma expressão equivalente a y = | x – 2| + | 2x + 1|,</p><p>sem usar módulo, quando x é um número real do intervalo</p><p>–</p><p>1</p><p>2</p><p>< x < 2.</p><p>Resolução</p><p>a) | x – 2|</p><p>Para x < 2, temos x – 2 < 0. Assim:</p><p>|x – 2| =</p><p>= – ( x – 2) = – x + 2 = 2 – x</p><p>b) | 2x + 1|</p><p>Como –</p><p>1</p><p>2</p><p>< x ⇔ –1 < 2x ⇔ 0 < 1 + 2x ⇔ 2x + 1 > 0,</p><p>temos|2x + 1| = 2x + 1</p><p>De (a) e (b) temos: y = | x – 2| + | 2x + 1| = 2 – x + 2x + 1 =</p><p>= x + 3</p><p>Resposta</p><p>y = x + 3</p><p>02. UEL-PR modificado</p><p>Construa o gráfico da função real definida por f(x ) = |x – 1|.</p><p>Resolução</p><p>1ª hipótese: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1</p><p>f(x) = |x – 1| = x – 1</p><p>2ª hipótese: x – 1 < 0 ⇔ x < 1</p><p>f(x) = |x – 1| = – x + 1</p><p>Resposta</p><p>y</p><p>x0 1</p><p>1</p><p>2</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>01. Unifoa-RJ</p><p>Seja f a função definida no intervalo aberto ( – 1; +1 ) por</p><p>f x</p><p>x</p><p>x</p><p>( ) =</p><p>1–</p><p>. Então f –</p><p>1</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>é:</p><p>a. – 2</p><p>b. 1</p><p>2</p><p>c. –</p><p>1</p><p>2</p><p>d. 1</p><p>3</p><p>e. –</p><p>1</p><p>3</p><p>9</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>02. UFES modificado</p><p>Esboce o gráfico da função real dada pela expressão</p><p>f(x) = |x| – 1.</p><p>10</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>03. UFES</p><p>O gráfico da função real dada pela expressão f(x) = x x</p><p>x</p><p>2 2 1</p><p>1</p><p>–</p><p>–</p><p>+</p><p>pode ser representado por:</p><p>a. y</p><p>x0 1</p><p>–1</p><p>b. y</p><p>x0</p><p>1</p><p>–1</p><p>c. y</p><p>x0</p><p>1</p><p>1</p><p>d. y</p><p>x0</p><p>–1</p><p>1</p><p>e. y</p><p>x0</p><p>–1</p><p>1</p><p>1</p><p>11</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>04.</p><p>Considerando a função real f(x) = (x – 1) · |x – 2|, escreva</p><p>uma expressão equivalente para f(x) sem recorrer ao uso</p><p>de módulo.</p><p>05.</p><p>Esboce o gráfico da função f(x) = |x2 – 4|.</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>1. Introdução</p><p>Da definição de módulo de um número real decorrem</p><p>algumas propriedades a serem usadas no trabalho com</p><p>equações e inequações modulares, apresentadas a seguir.</p><p>Sendo x, y e a números reais quaisquer, temos:</p><p>• P1: | x | ≥ 0 para qualquer x real e | x | = 0 ⇔ x = 0</p><p>• P2: | x | = a ⇔ x = –a ou x = a, com a ≥ 0</p><p>• P3: | x | = | y | ⇔ x = –y ou x = y</p><p>• P4: | x · y | = | x | · | y |</p><p>• P5:</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>= , com y ≠ 0</p><p>• P6: |x|2n = |x2n| = x2n, para n ∈*</p><p>• P7 :| x | < a ⇒ –a < x < a, com a > 0</p><p>• P8 :| x | > a ⇒ x < –a ou x > a, com a > 0</p><p>2. Equação modular</p><p>Equação modular é toda equação onde há incógnita entre</p><p>as barras que denotam o símbolo do módulo.</p><p>2.1. Resolução de equação modular</p><p>Na resolução de uma equação modular, busca-se a eli-</p><p>minação das barras de módulo pelo estudo do sinal da</p><p>expressão matemática que está contida nelas, valendo-se</p><p>das propriedades de módulo.</p><p>Assim, a equação do tipo |x| = a tem como solução x = a</p><p>ou x = –a, em que a ∈+.</p><p>De maneira análoga, resolve-se equação do tipo |f(x)|= a,</p><p>em que a ∈+.</p><p>MÓDULO 10 EQUAÇÃO E INEQUAÇÃO MODULAR</p><p>Exemplo:</p><p>Resolver em IR a equação |x| = 78.</p><p>Resolução</p><p>x = 78 ou x = – 78</p><p>S = { –78; 78}</p><p>Exemplo</p><p>Resolver em IR a equação | x – 30| = 100.</p><p>Resolução</p><p>x – 30 = – 100 ou x – 30 = 100</p><p>x = – 70 ou x = 130</p><p>S = { –70; 130}</p><p>Exemplo</p><p>Resolver em IR a equação |x| = – 78.</p><p>Resolução</p><p>Não existe x que verifique a igualdade, portanto o conjun-</p><p>to solução é o conjunto vazio.</p><p>S = ∅</p><p>Note que, caso o valor de a seja negativo, a equação |x| = a</p><p>não tem solução, uma vez que | x |≥ 0 para todo x real.</p><p>3. Inequação modular</p><p>Inequação modular é toda desigualdade onde existe</p><p>incógnita entre as barras que denotam o símbolo do mó-</p><p>dulo.</p><p>12</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>3.1. Resolução de inequação modular</p><p>Em inequações modulares deve-se trabalhar de modo se-</p><p>melhante ao aplicado às equações, isto é, também se tem</p><p>como meta eliminar as barras do módulo pelo estudo do</p><p>sinal da expressão matemática que está contida entre elas.</p><p>No caso |x| ≤ a, com a não negativo, tem-se:</p><p>1ª hipótese: x ≥ 0</p><p>|x|≤ a ⇔ x ≤ a (I)</p><p>2ª hipótese: x < 0</p><p>|x|< a ⇔ – x ≤ a ⇔ x ≥ – a (II)</p><p>De (I) e (II), vem:</p><p>|x|≤ a ⇔ – a ≤ x ≤ a.</p><p>01. UFG-GO</p><p>Seja f(x) = x e g(x ) = x|x|– 2x +1 funções definidas para</p><p>todo número real. O número de pontos de intersecção,</p><p>entre os gráficos de f(x) e g(x), é:</p><p>a. zero.</p><p>b. um.</p><p>c. dois.</p><p>d. três.</p><p>e. quatro.</p><p>Resolução</p><p>Para encontrar os pontos comuns aos gráficos, vamos</p><p>analisar a situação em que as imagens têm mesmo valor,</p><p>isto é, g(x) = f(x).</p><p>x|x| – 2x + 1 = x</p><p>x|x| – 3x + 1 = 0</p><p>Para x ≥ 0, temos: x · x – 3x + 1 = 0</p><p>x2 – 3x + 1 = 0</p><p>∆ = 5</p><p>x = 3 5</p><p>2</p><p>3 5</p><p>2</p><p>+</p><p>=ou x</p><p>– (os dois valores de x são não negativos)</p><p>Para cada valor de x encontrado acima, teremos dois pon-</p><p>tos distintos (x; f(x)), comuns aos gráficos de f(x) e g(x).</p><p>Para x < 0, temos: x · ( –x) – 3x + 1 = 0</p><p>–x2 – 3x + 1 = 0</p><p>x2 + 3x – 1 = 0</p><p>∆ = 13</p><p>3 13</p><p>2</p><p>3 13</p><p>2</p><p>+</p><p>=ou x</p><p>–</p><p>Há apenas um ponto comum aos gráficos de f(x) e g(x),</p><p>pois x = 3 13</p><p>2</p><p>+ não serve.</p><p>Como os três valores de x encontrados são distintos, os</p><p>três pontos também são distintos. Assim, há 3 pontos na</p><p>interseção dos gráficos de f(x) e g(x).</p><p>Resposta</p><p>D</p><p>02.</p><p>Resolva em  a inequação |x| > x.</p><p>Resolução</p><p>Para x ≥ 0, temos: x > x (A desigualdade é falsa.)</p><p>Para x < 0, temos: – x > x ⇔ –2x > 0 ⇔ 2x < 0 ⇔ x < 0</p><p>(a desigualdade é verdadeira para x < 0.)</p><p>S = { x ∈  / x < 0} = –</p><p>*</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>Exemplo</p><p>Resolver em  a inequação |x| ≤ 70.</p><p>Resolução</p><p>–70 ≤ x ≤ 70</p><p>S = { x ∈ / –70 ≤ x ≤ 70}</p><p>No caso |x| ≥ a, com a não negativo, tem-se:</p><p>x ≥ 0 ⇒ |x|</p><p>= x ⇒ x ≥ a (III)</p><p>x < 0 ⇒ |x| = –x ⇒ – x ≥ a ⇒ x ≤ –a (IV)</p><p>De (III) e (IV), vem: |x| ≥ a ⇔ x ≤ – a ou x ≥ a.</p><p>Exemplo:</p><p>Resolver em  a inequação |x| ≥ 70.</p><p>Resolução</p><p>x ≤ –70 ou x ≥ 70</p><p>S = { x ∈/ x ≤ –70 ou x ≥ 70}</p><p>13</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>01.</p><p>Determine as raízes da função f: 	→ , definida por</p><p>f(x) = 1 – | x – 2 |.</p><p>02. UFAM</p><p>As raízes da equação |x|2 + |x| − 12 = 0:</p><p>a. têm soma igual a zero.</p><p>b. são negativas.</p><p>c. têm soma igual a um.</p><p>d. têm produto igual a menos doze.</p><p>e. são positivas.</p><p>03. Unitau-SP</p><p>Se x é uma solução de |2x – 1| < 5 – x, então:</p><p>a. 5 < x < 7</p><p>b. 2 < x < 7</p><p>c. –5 < x < 7</p><p>d. –4 < x < 7</p><p>e. –4 < x < 2</p><p>04. ITA-SP</p><p>Considere a equação |x| = x – 6. Com respeito à solução</p><p>real desta equação, podemos afirmar que:</p><p>a. a solução pertence ao intervalo [1, 2 ].</p><p>b. a solução pertence ao intervalo [ –2, –1 ].</p><p>c. a solução pertence ao intervalo ( –1, 1 ).</p><p>d. a solução pertence ao complementar da união dos</p><p>intervalos anteriores.</p><p>e. a equação não tem solução.</p><p>05.</p><p>Considere a função f(x) =</p><p>2 1</p><p>5</p><p>1</p><p>x –</p><p>– definida em IR.</p><p>Determine os valores de x para que a função tenha so-</p><p>mente imagens negativas.</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>14</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>1. Introdução</p><p>As equações que apresentam potências em que há incóg-</p><p>nita no expoente são chamadas de equações exponen-</p><p>ciais. O trabalho para encontrar a solução de uma equa-</p><p>ção exponencial ficará facilitado se pudermos comparar</p><p>potências com a mesma base. Nos casos em que as bases</p><p>forem distintas, teremos de trabalhar com logaritmos, as-</p><p>sunto a ser estudado posteriormente.</p><p>2. Potenciação e algumas propriedades</p><p>2.1. Definições</p><p>Sendo b ∈ e n ∈, temos:</p><p>1) b b b b bn</p><p>n vezes</p><p>= . . ...��� �� , para n inteiro maior que 1.</p><p>Observação: bn é a potência de base b e expoente n.</p><p>2) b1 = b</p><p>3) b0 = 1, com b ≠ 0</p><p>4) b–n = 1</p><p>bn</p><p>, com b ≠ 0</p><p>5) b b</p><p>m</p><p>n mn= , com b > 0, n > 0 e m ∈ </p><p>2.2. Propriedades</p><p>Sendo b ∈ e considerando definidas as potências, te-</p><p>mos:</p><p>1) bm · bn = bm + n</p><p>2) b</p><p>b</p><p>m</p><p>n</p><p>= bm – n, b ≠ 0</p><p>3) (bm)n = bm · n</p><p>4) (a · b)n = an · bn</p><p>5)</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>n n</p><p>n</p><p></p><p></p><p></p><p> = , com b ≠ 0</p><p>2.3. Uma propriedade especial</p><p>Para b ∈ tal que b > 0 e b ≠ 1, e considerando definidas</p><p>as potências, temos:</p><p>bq = bk ⇔ q = k</p><p>Demonstração</p><p>I) bq = bk ⇒ q = k</p><p>Como bq = bk e b > 0, podemos dividir os dois membros</p><p>da igualdade por bk.</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>q</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>q k= ⇒ =– 1 . Como b ≠ 1, a única possibilidade</p><p>para a potência resultar no valor 1 ocorre quando o expoente</p><p>é igual a zero. Assim, temos q – k = 0 e, portanto, q = k.</p><p>II) q = k ⇒ bq = bk (imediato)</p><p>De (I) e (II), vem: bq = bk ⇔ q = k</p><p>3. Equação exponencial</p><p>Chamamos de equação exponencial a toda iguadadae que</p><p>apresenta potencias com variável no expoente</p><p>Para resolver uma equação exponencial, devemos procu-</p><p>rar uma maneira de conseguir uma igualdade de potên-</p><p>cias na mesma base. Ao obter uma igualdade do tipo:</p><p>bf(x) = bg(x) , com b ∈ tal que b > 0 e b ≠ 1, basta aplicar a</p><p>propriedade anterior e resolver a nova equação: f(x) = g(x).</p><p>MÓDULO 11 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>01. UFRGS-RS</p><p>Sabendo-se que 6x + 2 = 72, tem-se que 6– x vale:</p><p>a. –4</p><p>b. –2</p><p>c. 0</p><p>d.</p><p>1</p><p>2</p><p>e. 2</p><p>Resolução</p><p>6x + 2 = 72 ⇒ 6x · 62 = 72 ⇒ 6x =</p><p>72</p><p>36</p><p>⇒ 6x = 2</p><p>6–x =</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>2x</p><p>=</p><p>Resposta</p><p>D</p><p>15</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>02. Cesgranrio-RJ</p><p>Se 8x = 32, então x é igual a:</p><p>a. 5</p><p>2</p><p>b. 5</p><p>3</p><p>c. 3</p><p>5</p><p>d. 2</p><p>5</p><p>e. 4</p><p>Resolução</p><p>8x = 32 ⇒ (23)x = 25 ⇒ 23x = 25 ⇒ 3x = 5 ⇒ x =</p><p>5</p><p>3</p><p>Resposta</p><p>B</p><p>03. Vunesp modificada</p><p>Resolva a equação exponencial: 7(x–3) + 7(x–2) + 7(x–1) = 57.</p><p>Resolução</p><p>7(x–3) + 7(x–2) + 7(x–1) = 57</p><p>7</p><p>7</p><p>7</p><p>7</p><p>7</p><p>7</p><p>57</p><p>3 2 1</p><p>x x x</p><p>+ + =</p><p>7x + 7x · 7 + 7x · 72 = 57 · 73</p><p>7x + 7 · 7x + 49 · 7x = 57 · 73</p><p>57 · 7x = 57 · 73</p><p>7x = 73</p><p>x = 3</p><p>Resposta</p><p>S = {3}</p><p>04. Uespi</p><p>O conjunto solução da equação 22x = 3 · 2x – 2 é:</p><p>a. {0}</p><p>b. {–1, 0}</p><p>c. {0, 1)</p><p>d. {1}</p><p>e. (–1}</p><p>Resolução</p><p>22x ⇒ 3 · 2x – 2</p><p>(2x)2 ⇒ 3 · 2x – 2</p><p>Chamando 2x = y, temos:</p><p>y2 = 3 · y – 2</p><p>y2 – 3 · y + 2 = 0</p><p>S</p><p>P</p><p>y</p><p>ou</p><p>y</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2x = 1 ou 2x = 2</p><p>2x = 20 ou 2x = 21</p><p>x = 0 ou x = 1</p><p>S = { 0; 1 }</p><p>Resposta</p><p>C</p><p>16</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>01. E.E.Mauá-SP</p><p>Resolver o sistema:</p><p>5 5</p><p>3 1</p><p>2 3x y</p><p>x y</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>03. UEPG-PR</p><p>A soma das raízes da equação 32x – 12 · 3x + 27 = 0 per-</p><p>tence ao intervalo:</p><p>a. [10, 12]</p><p>b. [0, 3]</p><p>c. [1, 2]</p><p>d. (10, 12]</p><p>e. (1, 3)</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>02. PUC-SP</p><p>Sendo 2</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p> ⋅ </p><p></p><p> =</p><p>k k</p><p>, qual o valor de 1</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>–k</p><p>?</p><p>17</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>04. UFJF-MG</p><p>As raízes da equação 2</p><p>1</p><p>2</p><p>17</p><p>4</p><p>x</p><p>x</p><p>+ = são:</p><p>a. iguais em módulo.</p><p>b. ambas negativas.</p><p>c. ambas positivas.</p><p>d. quaisquer números reais.</p><p>e. nulas.</p><p>05. UEM-PR</p><p>A proposição a seguir é verdadeira?</p><p>"A única solução da equação e4x + 1 = 2 · e2x é x = 0."</p><p>1. Introdução</p><p>Em uma potência, temos três elementos importantes: a</p><p>base, o expoente e a potência. No exemplo 103 = 1.000, a</p><p>base é 10, o expoente é 3 e a potência é 1.000. Conside-</p><p>remos agora a seguinte pergunta: “Qual deve ser o</p><p>expoente da base 10 para a potência ficar igual a 1.000?”.</p><p>Pelo exemplo, a resposta dessa pergunta é 3. Fazendo</p><p>questionamentos desse tipo, os matemáticos desenvol-</p><p>veram uma nova operação matemática denominada lo-</p><p>garitmo.</p><p>2. Definição</p><p>Define-se logaritmo de a na base b, representado por logb a,</p><p>como sendo o expoente real x que satisfaz: bx = a, ou seja:</p><p>loga x b a</p><p>b</p><p>x= ⇔ = .</p><p>Notação: b é denominado base; a é o logaritmando ou</p><p>antilogaritmo e x é o logaritmo.</p><p>Exemplos:</p><p>1) log10 1.000 = 3, pois 103 = 1.000</p><p>2) log6 36 = 2, pois 62 = 36</p><p>3. Condição de existência</p><p>Quando b é um número real positivo, temos bx > 0 para</p><p>todo x real e se bx = a, então a > 0.</p><p>Quando b = 1, temos bx = 1 para todo x real.</p><p>Assim, para garantir a existência e unicidade de logb</p><p>a , de-</p><p>vemos ter b > 0, b ≠ 1 e a > 0.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Para quais valores de x existe log10 (10 – x)?</p><p>Resolução: 10 – x > 0</p><p>⇒ 10 > x</p><p>⇒ x < 10</p><p>O logaritmo existe para todo x real tal que x < 10:</p><p>{x ∈/ x < 10}</p><p>2) Qual é a condição de existência do logaritmo logx–5 10?</p><p>Resolução: x – 5 > 0 e x – 5 ≠ 1</p><p>x > 5 e x ≠ 6</p><p>E = {x ∈/ x > 5 e x ≠ 6}</p><p>4. Logaritmos com representação especial</p><p>Logaritmo decimal: log a = log10 a</p><p>Logaritmo neperiano: ln a= loge a, em que e = 2,71828182...</p><p>é um número irracional (número de Euler).</p><p>5. Consequências importantes da definição</p><p>Consideradas as devidas condições de existência: b > 0;</p><p>b≠ 1 e a > 0, com a e b reais, são válidas as seguintes igualdades:</p><p>logb b = 1</p><p>logb 1 = 0</p><p>logb ba = a, a ∈</p><p>b ab</p><p>alog =</p><p>MÓDULO 12 LOGARITMOS – DEFINIÇÃO</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>18</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>01. Vunesp</p><p>O logaritmo de 4</p><p>5</p><p>na base 0,8 é:</p><p>a. log ,5</p><p>4</p><p>0 8</p><p>b. log ,0 8</p><p>5</p><p>4</p><p>c. log0,8 1</p><p>d. log88</p><p>e. 16</p><p>25</p><p>Resolução</p><p>log , , , log,0 8 8</p><p>4</p><p>5</p><p>0 8</p><p>4</p><p>5</p><p>0 8 0 8 1 8= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =x xx x</p><p>Resposta</p><p>D</p><p>02. UFSCar-SP</p><p>A função f(x) = logx–1 (–x2 + x + 6) tem por domínio o conjunto:</p><p>a. {x ∈ / 1 < x < 3}</p><p>b. {x ∈ / 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}</p><p>c. {x ∈ / –2 < x < 3}</p><p>d. {x ∈ / –2 ≤ x ≤ 3}</p><p>e. {x ∈ / x > 1}</p><p>Resolução</p><p>Devemos ter:</p><p>–</p><p>–</p><p>–</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>2 6 0</p><p>1 0</p><p>1 0</p><p>+ + ></p><p>></p><p>≠</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Função auxiliar: g(x) = –x2 + x + 6</p><p>Raízes: –x2 + x + 6 = 0</p><p>soma das raízes S</p><p>produto das raízes P</p><p>x</p><p>ou</p><p>x</p><p>:</p><p>:</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>= −</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>–</p><p>+</p><p>– –</p><p>–2 3 x</p><p>Assim: – x2 + x + 6 > 0 ⇔ –2 < x < 3 (I)</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x e x II</p><p>–</p><p>–</p><p>1 0 1</p><p>1 1 2</p><p>1 2</p><p>> ⇒ ></p><p>≠ ⇒ ≠</p><p></p><p></p><p></p><p>⇔ > ≠ ( )</p><p>1 2 3–2</p><p>(I)</p><p>(II)</p><p>(I) (II)</p><p>∴D = {x ∈ | 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}</p><p>Resposta</p><p>B</p><p>03. PUC-SP</p><p>Logππ1 000. é igual a:</p><p>a. π</p><p>b. 103</p><p>c. 3π</p><p>d. π3</p><p>e. π</p><p>3</p><p>Resolução</p><p>logππ1.000 = x → πx = π1.000 → x = 1.000 = 103</p><p>Resposta</p><p>B</p><p>19</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>01. USFCar-SP</p><p>Em notação científica, um número é escrito na forma</p><p>p · 10q, sendo p um número real tal que 1 ≤ p < 10 e q um</p><p>número inteiro. Considerando log 2 = 0,3, o número 2255 ,</p><p>escrito</p><p>em notação científica, terá p igual a:</p><p>a. 10</p><p>b. 3</p><p>c. 2</p><p>d. 1,2</p><p>e. 1,1</p><p>03. Mackenzie-SP</p><p>O valor de log</p><p>1</p><p>ab</p><p></p><p></p><p></p><p> , sabendo que a e b são raízes da equação</p><p>x2 – 7x + 10 = 0, é:</p><p>a. 2</p><p>b. – 1</p><p>c. –</p><p>1</p><p>2</p><p>d. 1</p><p>e.</p><p>1</p><p>2</p><p>02. FEI-SP modificada</p><p>A função f(x) = log (50 – 5x – x2 ) está definida para:</p><p>a. x > 10</p><p>b. – 10 < x < 5</p><p>c. 5 < x < 10</p><p>d. x < – 5</p><p>e. x ≠ 5</p><p>04. PUC-SP</p><p>Encontre o valor real de x na igualdade log</p><p>2 2 512 = x.</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>20</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>05. UFU-MG</p><p>Se a e b são números reais positivos, tais que loga 3 = 4 e</p><p>logb 5 = 6, então (ab)12 é igual a:</p><p>1. Introdução</p><p>As propriedades apresentadas a seguir, obtidas a partir da</p><p>definição de logaritmos, permitem que os cálculos opera-</p><p>tórios que envolvam logaritmos sejam facilitados, motivo</p><p>inicial de sua criação.</p><p>2. Propriedades operatórias</p><p>Nas propriedades enumeradas a seguir, os logaritmos</p><p>apresentados satisfazem as condições de existência.</p><p>P1) Logaritmo do produto</p><p>logb (M · N) = logbM + logbN</p><p>P2) Logaritmo do quociente</p><p>log log logb b b</p><p>M</p><p>N</p><p>M N</p><p></p><p></p><p> = –</p><p>No caso particular em que M = 1, temos:</p><p>log log log</p><p>log log</p><p>log</p><p>b b b</p><p>b b</p><p>b</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p></p><p></p><p></p><p> =</p><p>–</p><p>–</p><p>–llog logN co N</p><p>b b=</p><p>cologaritmo</p><p>��� ��</p><p>P3) Logaritmo da potência</p><p>logb Ma = a · logbM</p><p>Consequência imediata da P3:</p><p>log logb</p><p>n</p><p>bM</p><p>n</p><p>M( ) = </p><p></p><p></p><p> ⋅</p><p>1</p><p>P4) Mudança de base:</p><p>log</p><p>log</p><p>logb</p><p>c</p><p>c</p><p>M</p><p>M</p><p>b</p><p>=</p><p>2.1. Algumas demonstrações</p><p>P1) logb(M · N) = p; logbM = q; logbN = r</p><p>bp = M · N; bq = M br = N</p><p>bp = bq · br</p><p>bp = bq + r</p><p>p = q + r</p><p>Portanto: logb(M · N) = logb(M)+ logb(N)</p><p>P3) logb(Ma) = p; logb(M) = q</p><p>bp = Ma ; bq = M</p><p>bp = (bq)a</p><p>bp = bq · a</p><p>p = q · a</p><p>p = a · q</p><p>Portanto: logb(Ma) = a · logb(M)</p><p>P4) logb(M) = p; logc(M) = q; logc(b) = r</p><p>bp = M; cq = M; cr = b;</p><p>bp = cq</p><p>(cr)p = cq</p><p>cr · p = cq</p><p>r · p = q</p><p>p =</p><p>q</p><p>r</p><p>Portanto: logb(M) =</p><p>log</p><p>log</p><p>c</p><p>c</p><p>M</p><p>b</p><p>MÓDULO 13 PROPRIEDADES DE LOGARITMOS</p><p>a. 675</p><p>b. 625</p><p>c. 640</p><p>d. 648</p><p>21</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>01. FCMSC-SP</p><p>Utilizando a tabela, encontramos para log 75 o valor:</p><p>x log x</p><p>2 0,30</p><p>6 0,77</p><p>a. 1,14</p><p>b. 1,30</p><p>c. 1,56</p><p>d. 1,68</p><p>e. 1,87</p><p>Resolução</p><p>log 6 = log (2 · 3) = log 2 + log 3</p><p>0,77 = 0,30 + log 3 ⇒ log 3 = 0,47</p><p>log 75 = log (3 · 25)</p><p>log 75 = log 3 + log 52 = log 3 + 2 · log 5</p><p>log 75 = log 3 + 2 · [log (10/2)]</p><p>log 75 = 0,47 + 2 [log 10 – log 2]</p><p>log 75 = 0,47 + 2 · [1 – 0,30] = 0,47 + 2 · 0,70</p><p>log 75 = 1,87</p><p>Resposta</p><p>E</p><p>02. Mackenzie-SP</p><p>Considerando que x – y = 33 e que x + y = 3, o valor de</p><p>log3(x2 – y2) é:</p><p>a. 3</p><p>3</p><p>b. 2</p><p>5</p><p>c. 3</p><p>d. 3</p><p>2</p><p>e. 5</p><p>6</p><p>Resolução</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>log (</p><p>x y x y x y</p><p>x y</p><p>2 2 3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>5</p><p>6</p><p>3</p><p>2</p><p>3 3 3 3 3 3– –</p><p>–</p><p>= + ⋅ = ⋅ = ⋅ = =</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>22</p><p>3</p><p>5</p><p>6</p><p>33</p><p>5</p><p>6</p><p>3</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>5</p><p>6</p><p>) log log= = </p><p></p><p></p><p> ⋅ = ⋅ =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Resposta</p><p>E</p><p>03.</p><p>Se y = (log32) · (log25) · (log581), então:</p><p>a. y = 1</p><p>b. y = 2</p><p>c. y = 3</p><p>d. y = 4</p><p>e. y = 5</p><p>Resolução</p><p>(log32) · (log25) · (log581) = (log32) · log</p><p>log</p><p>log</p><p>log</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>81</p><p>5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>= log381 = 4</p><p>Resposta</p><p>D</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>22</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>01. UFPR</p><p>Um grupo de estudantes resolveu repetir a medição da</p><p>altura do Pico da Neblina feita na década de 60. Para isso,</p><p>escalaram essa montanha e levaram um barômetro. Che-</p><p>gando ao cume da montanha, efetuaram várias medições</p><p>da pressão atmosférica no local e obtiveram o valor mé-</p><p>dio de 530 mmHg. A pressão atmosférica P(h) a uma dada</p><p>altura h (em metros, em relação ao nível do mar) é forne-</p><p>cida pela função</p><p>P(h) = P0 · ea · h</p><p>sendo e a base do sistema de logaritmos neperianos,</p><p>P0 = 760 mmHg a pressão atmosférica no nível do mar, e a</p><p>um número que depende principalmente da temperatura</p><p>média no local de medição.</p><p>Sabendo-se que, nas condições desse experimento,</p><p>a = –0,00012 e que os estudantes usaram os valores apro-</p><p>ximados ln(760) = 6,63 e ln(530) = 6,27, qual foi a altura</p><p>que encontraram para o Pico da Neblina?</p><p>02. Acafe-SC</p><p>O valor da expressão log32 · log43 é:</p><p>a. 1</p><p>2</p><p>b. 3</p><p>c. 4</p><p>d. 2</p><p>3</p><p>e. 2</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>03. Insper-SP</p><p>Se ab = ba, em que a e b são números naturais maiores do</p><p>que 1, então:</p><p>a. a = b</p><p>b. logab = ab</p><p>c. logab =</p><p>b</p><p>a</p><p>d. b é necessariamente par.</p><p>e. a é necessariamente ímpar.</p><p>23</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>04. Mackenzie-SP</p><p>Se log log2 2</p><p>1</p><p>1x</p><p>x</p><p>+ = – , então log4x é igual a:</p><p>a. 1</p><p>4</p><p>b. 1</p><p>2</p><p>c. –1</p><p>d. 1</p><p>e. –2</p><p>05. FGV-SP</p><p>Um capital C é aplicado a juros compostos à taxa de 2% ao</p><p>mês. Três meses depois, um outro capital igual a C é apli-</p><p>cado também a juros compostos, porém à taxa de 3% ao</p><p>mês. Durante quanto tempo o 1º capital deve ficar apli-</p><p>cado para dar um montante igual ao do 2º capital? Você</p><p>pode deixar indicado o resultado.</p><p>1. Introdução</p><p>As equações que envolvem logaritmos e que possuem va-</p><p>riável no logaritmando ou na base do logaritmo são deno-</p><p>minadas equações logarítmicas.</p><p>2. Resolução de uma equação logaritmica</p><p>Para resolver uma equação logarítmica, estabelecemos</p><p>inicialmente as condições de existência e usamos as pro-</p><p>priedades usuais dos logaritmos e a propriedade a seguir.</p><p>3. Propriedade</p><p>Consideradas as condições de existência, temos:</p><p>logbM = logbN ⇔ M = N</p><p>Demonstração</p><p>I) logbM = logbN ⇒ M = N</p><p>Sejam:</p><p>log</p><p>log</p><p>b</p><p>b</p><p>M b M</p><p>N b N</p><p>M N</p><p>= ⇒ =</p><p>= ⇒ =</p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ =</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>II) M = N ⇒ logbM = logbN (imediato)</p><p>De (I) e (II), vem: logbM = logbN ⇔ M = N</p><p>MÓDULO 14 LOGARITMOS – EQUAÇÕES</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>01. FGV-SP</p><p>A equação log (x + 2) + log (x – 2) = 1:</p><p>a. tem duas raízes opostas.</p><p>b. tem uma única raiz irracional.</p><p>c. tem uma única raiz menor que 3.</p><p>d. tem uma única raiz maior que 7.</p><p>e. tem conjunto solução vazio.</p><p>24</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>Resolução</p><p>Condição de existência: x + 2 > 0 e x – 2 > 0 ⇔ x > 2</p><p>∴ condição de existência: x > 2</p><p>log (x + 2) + log (x– 2) = 1</p><p>log [(x + 2) · (x – 2)] = 1</p><p>log (x2 – 4) = 1</p><p>x2 – 4 = 101</p><p>x2 = 14</p><p>x ou x não serve= =14 4– ( )</p><p>Resposta</p><p>B</p><p>02. FGV-SP</p><p>O valor de x que satisfaz a equação</p><p>log(2x + 7) = log 2x + log 7 é um número:</p><p>a. menor que 1</p><p>2</p><p>.</p><p>b. entre 1</p><p>2</p><p>e 1.</p><p>c. entre 1 e 3</p><p>2</p><p>.</p><p>d. entre 3</p><p>2</p><p>e 2.</p><p>e. maior que 2.</p><p>Resolução</p><p>Condição de existência: 2x + 7 > 0 e 2x > 0 ⇔ x > 0</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>01.</p><p>Resolver, nos reais, a equação 2 · log x = log(2x).</p><p>02. UFF-RJ</p><p>Determine o conjunto solução, em , da equação</p><p>log x2 = 2 · log x.</p><p>E={x ∈/x > 0}</p><p>log10(2x+7) = log10(2x) + log10(7)</p><p>log10(2x+7) = log10(2x ·7)</p><p>Há uma igualdade de dois logaritmos na mesma base.</p><p>Aplicando a propriedade, temos:</p><p>2x + 7 = 14 · x</p><p>12x = 7</p><p>x = 7</p><p>12</p><p>O número 7</p><p>12</p><p>satisfaz a condição de existência e está</p><p>compreendido entre 1</p><p>2</p><p>e 1.</p><p>Resposta</p><p>B</p><p>03.</p><p>Resolva a equação (ln x )2 – 6 · ln x + 8 = 0.</p><p>Resolução</p><p>Condição de existência: E = {x ∈/ x > 0}</p><p>Fazendo ln x = z, temos: (z)2 – 6 · z + 8 = 0</p><p>Raízes: z = 2 ou z = 4</p><p>ln x = 2 ou ln x = 4</p><p>loge x = 2 ou loge x = 4</p><p>x = e2 ou x = e4</p><p>Os dois valores encontrados satisfazem a condição de</p><p>existência.</p><p>Portanto S = { e2; e4}</p><p>25</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>03. UFF-RJ</p><p>Beremiz e seu mestre Nô-Elim eram apaixonados pela rai-</p><p>nha das ciências, a Matemática, e toda vez que se reuniam</p><p>para conversar sobre ela, o faziam de modo enigmático.</p><p>Certa vez, Beremiz fez a seguinte pergunta ao seu mestre:</p><p>— Qual é o número, maior que a unidade, cujo loga-</p><p>ritmo decimal da sua raiz quadrada é igual à raiz</p><p>quadrada do seu logaritmo decimal?</p><p>— Usando propriedades do logaritmo e um pouco</p><p>mais de sabedoria, você será capaz de responder</p><p>a sua questão – respondeu o mestre.</p><p>Considerando o texto acima, responda:</p><p>Qual é o número procurado por Beremiz?</p><p>04. FGV-SP</p><p>a. Resolva a equação: log (x – 2) + log (x + 2) = 2.</p><p>b. Quais as raízes da equação xlog x = 100x?</p><p>05. UFF -RJ</p><p>Resolva, em</p><p>+</p><p>* , o sistema:</p><p>log log</p><p>log log</p><p>2 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x y</p><p>+</p><p></p><p></p><p> = +</p><p></p><p></p><p></p><p>+ =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>26</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>1. Introdução</p><p>As funções exponenciais têm diversas</p><p>aplicações na ciên-</p><p>cia, por exemplo, crescimento populacional, radioativida-</p><p>de, financiamentos etc. É importante saber analisar seus</p><p>gráficos e compreender fenômenos que podem ser mo-</p><p>delados por essas funções.</p><p>2. Função exponencial</p><p>Sendo b um número real, com b> 0 e b ≠ 1, chama-se fun-</p><p>ção exponencial de base b uma função f:  → +</p><p>* defini-</p><p>da por f(x) = bx, para todo x real.</p><p>3. Gráfico de função exponencial</p><p>a) Para b > 1, a função exponencial é crescente e seu grá-</p><p>fico é do tipo:</p><p>x1</p><p>f (x1)</p><p>f (x2)</p><p>x2</p><p>y</p><p>x</p><p>f (x) = bx</p><p>Curva exponencial</p><p>0</p><p>1</p><p>Note que: Im (f) = +</p><p>* e x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2).</p><p>Exemplo:</p><p>Esboçar o gráfico da função y = 2x.</p><p>1</p><p>1</p><p>0–1</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>y</p><p>x</p><p>f (x) = 2x</p><p>b) Para 0 < b < 1, a função exponencial é decrescente e seu</p><p>gráfico é do tipo:</p><p>x1</p><p>f (x2)</p><p>f (x1)</p><p>x2</p><p>y</p><p>x</p><p>f (x) = bx</p><p>Curva exponencial</p><p>0</p><p>Note que: Im (f) = +</p><p>* e x1 < x2 ⇔ f(x1) > f(x2).</p><p>Exemplo:</p><p>Esboçar o gráfico da função y</p><p>x</p><p>= </p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>f(x) = 1</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>0–1–2</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>y</p><p>x</p><p>f (x) =</p><p>x1</p><p>2</p><p>MÓDULO 15 FUNÇÃO EXPONENCIAL</p><p>27</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>01. UFSCar-SP</p><p>Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é</p><p>igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a:</p><p>y = f(x)</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>n 2n</p><p>f(x) = 2x</p><p>x</p><p>a. 2</p><p>b. 2 2</p><p>c. 3</p><p>d. 3 2</p><p>e. 4</p><p>Resolução</p><p>De f(x) = 2x, temos f(2n) = 22n = (2n)2.</p><p>Portanto, f(2n) = [f(n)]2.</p><p>Do gráfico, temos AB = f(2n) – f(n), ou seja, AB = [f(n)]2 – f(n).</p><p>A área do triângulo é 3n.</p><p>BC AB</p><p>n</p><p>⋅</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>∴ AB · BC = 6n</p><p>{[f(n)]2 – f(n)} · n = 6n</p><p>[f(n)]2 – f(n) = 6</p><p>[f(n)]2 – f(n) – 6 = 0</p><p>Dessa equação, resulta f(n) = 3 ou f(n) = –2.</p><p>Como f(n) > 0, temos f(n) = 3</p><p>Resposta</p><p>C</p><p>02. Unifor-CE</p><p>Uma possível representação gráfica da função definida por</p><p>f(x) = 10–x é:</p><p>a. y</p><p>x0 1</p><p>b.</p><p>y</p><p>x0</p><p>1</p><p>c.</p><p>y</p><p>x0</p><p>1</p><p>d.</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>1</p><p>e. y</p><p>x0</p><p>1</p><p>Resolução</p><p>f x f xx</p><p>x</p><p>( ) ( )= ⇒ = </p><p></p><p></p><p> →−10</p><p>1</p><p>10</p><p>decrescente</p><p>f(x) > 0 para todo x ∈</p><p>Portanto uma possível representação gráfica é a in-</p><p>dicada na alternativa b.</p><p>Resposta</p><p>B</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>28</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>01.</p><p>O gráfico que melhor representa a função f(x) = e–x é:</p><p>a. y</p><p>x0</p><p>1</p><p>b. y</p><p>x</p><p>0</p><p>1</p><p>c. y</p><p>x0</p><p>1</p><p>d. y</p><p>x0 1</p><p>e. y</p><p>x0</p><p>1</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>29</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>02.</p><p>Esboce o gráfico da função g(x) = 3x – 3.</p><p>03. Unifesp</p><p>Uma droga na corrente sanguínea é eliminada lentamen-</p><p>te pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quan-</p><p>tidade inicial de Q0 miligramas, após t horas a quantidade</p><p>da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q0(0,64)t mili-</p><p>gramas. Determine:</p><p>a. a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins</p><p>em 1 hora;</p><p>b. o tempo necessário para que a quantidade inicial</p><p>da droga fique reduzida à metade.</p><p>Utilize log10 2 = 0,30.</p><p>30</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>04. Mackenzie-SP modificado</p><p>y</p><p>x</p><p>4</p><p>Se os gráficos esboçados na figura são os das funções</p><p>f x</p><p>x</p><p>( ) = 2 2</p><p>–</p><p>e g(x) = ax2 + b, o valor de g(k), em que k = f(0),</p><p>é:</p><p>a. 13</p><p>4</p><p>b. 11</p><p>4</p><p>c. 3</p><p>d. 15</p><p>4</p><p>e. 2</p><p>05. FGV-SP modificado</p><p>Curva de aprendizagem é um conceito criado por psicólo-</p><p>gos que constataram a relação existente entre a eficiência</p><p>de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou expe-</p><p>riência possuída por esse indivíduo.</p><p>Um exemplo de curva de aprendizagem é dado pela ex-</p><p>pressão</p><p>Q = 700 – 400 e–0,5t , em que:</p><p>Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por</p><p>um funcionário; t = meses de experiência; e = 2,7183.</p><p>a. De acordo com essa expressão, quantas peças um</p><p>funcionário com 2 meses de experiência deverá</p><p>produzir mensalmente?</p><p>b. E um funcionário sem qualquer experiência, quan-</p><p>tas peças deverá produzir mensalmente?</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p><p>31</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>MÓDULO 16 FUNÇÃO LOGARÍTMICA</p><p>1. Introdução</p><p>As funções logarítmicas também têm aplicações na ciên-</p><p>cia, por exemplo, na química, o cálculo de pH, das solu-</p><p>ções; na geologia, o cálculo da intensidade de terremotos</p><p>etc. Assim como nas funções exponenciais, é importante</p><p>saber analisar seus gráficos e compreender fenômenos</p><p>que podem ser modelados por funções logarítmicas.</p><p>2. Função logarítmicas</p><p>Sendo b um número real, com b > 0 e b ≠ 1, chama-se fun-</p><p>ção logarítmica de base b uma função f: +</p><p>* →  definida</p><p>por f(x) = logbx, para todo x real positivo.</p><p>3. Gráfico de função logarítmica</p><p>a) Para b > 1, a função é crescente e seu gráfico é do</p><p>tipo:</p><p>y</p><p>x</p><p>f (x2)</p><p>f (x1)</p><p>x1 x2</p><p>Curva logarítmica</p><p>f (x) = logb x</p><p>0 1</p><p>.</p><p>Note que: Im(f) =  e 0 < x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2).</p><p>Exemplo:</p><p>Esboçar o gráfico da função f(x) = log2x.</p><p>y</p><p>x</p><p>2</p><p>1</p><p>1 2 4</p><p>f (x) = log2 x</p><p>0</p><p>b) Para 0 < b < 1, a função é decrescente e seu gráfico</p><p>é do tipo:</p><p>y</p><p>x</p><p>f (x2)</p><p>f (x1)</p><p>x1 x2</p><p>Curva logarítmica</p><p>f (x) = logb x</p><p>0 1</p><p>Note que: Im(f) =  e 0 < x1 < x2 ⇔ f(x1) > f(x2).</p><p>Exemplo:</p><p>Esboçar o gráfico da função f(x) = log1</p><p>2</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>–2</p><p>–1</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>f (x) = log1 x</p><p>0</p><p>2</p><p>32</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>01. UFRGS-RS</p><p>Na figura abaixo está representado o gráfico da função</p><p>f(x) = logbx.</p><p>y</p><p>x</p><p>–1</p><p>0,5 2</p><p>logb 2</p><p>0</p><p>A área da região sombreada é:</p><p>a. 2</p><p>b. 2,2</p><p>c. 2,5</p><p>d. 2,8</p><p>e. 3</p><p>Resolução</p><p>De acordo com o gráfico f(0,5) = –1.</p><p>f f</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>( , ) log</p><p>log</p><p>0 5</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1 1</p><p>= </p><p></p><p></p><p> = </p><p></p><p></p><p></p><p>= </p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>–</p><p>–</p><p>– –</p><p>b = 2</p><p>f(x) = log2(x)</p><p>f(2) = log2(2) = 1 (altura do retângulo)</p><p>área do retângulo = base x altura = 2 · 1 = 2</p><p>Resposta</p><p>A</p><p>02.</p><p>Uma possível representação gráfica da função definida</p><p>por f(x) = log</p><p>10</p><p>x é:</p><p>a. y</p><p>x0 1</p><p>b. y</p><p>x</p><p>0</p><p>1</p><p>c. y</p><p>x0</p><p>1</p><p>d. y</p><p>x0</p><p>1</p><p>e. y</p><p>x0</p><p>–1</p><p>Resolução</p><p>f(x) = log10x</p><p>Trata-se de uma função logarítmica crescente, pois a base</p><p>é maior que 1. E esta função não tem domínio negativo</p><p>ou nulo, portanto o único gráfico que serve é o gráfico</p><p>indicado pela alternativa A.</p><p>Resposta</p><p>A</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>33</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>01. Fuvest-SP</p><p>Qual das figuras abaixo é um esboço do gráfico da função</p><p>f(x) = log2 2x?</p><p>a.</p><p>1 2</p><p>2</p><p>b.</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>c.</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO</p><p>d.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>e.</p><p>1</p><p>–1</p><p>1</p><p>2</p><p>34</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411Matemática</p><p>02.</p><p>Esboce o gráfico da função definida f(x) = logx</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>03. UFRGS-RS</p><p>Na figura abaixo, a reta r é o gráfico da função real de</p><p>variável real definida por y = log(b · ax), em que a e b são</p><p>números reais positivos.</p><p>–1</p><p>–1</p><p>1</p><p>1</p><p>y</p><p>r</p><p>x</p><p>O valor de a</p><p>b</p><p>é:</p><p>a. 0,1</p><p>b. 1</p><p>c. 10</p><p>d. 102</p><p>e. 103</p><p>35</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>22</p><p>411 Matemática</p><p>04. UFSC</p><p>Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0, a ≠ 1, determine</p><p>a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras.</p><p>01. O domínio da função f é R.</p><p>02. A função f é crescente em seu domínio quando</p><p>a ∈ (1, + ∞).</p><p>04. Se a =</p><p>1</p><p>2</p><p>, então f(2) = –1</p><p>08. Se a = 3 e f(x) = 6, então x = 27</p><p>16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1, 0).</p><p>05. ESPM-SP modificado</p><p>Considere as funções f (x) = log2x e g (x) = x2 – 2x, definidas</p><p>para todo x real estritamente positivo. Se f [b] = 3 , a > 0 e</p><p>b = g(2a), podemos afirmar que:</p><p>a. f (a) = 0</p><p>b. g (a) = 3</p><p>c. f (a) + g (a) = 2</p><p>d. g (a) = 1</p><p>e. f (a) = 1</p><p>EXERCÍCIOS EXTRAS</p>