Grátis: Questão 12. Em um ∆ABC, AB = 6, BC = 4, e AC = 8. O segmento paralelo a BC e tangente ao incírculo do ∆ABC intersecta AB em M e AC em N. Se MN = a... – Questões Respondidas

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Questão 12. Em um ∆ABC, AB = 6, BC = 4, e AC = 8. O segmento paralelo a BC e tangente ao incírculo do ∆ABC intersecta AB em M e AC em N. Se MN = a/b, onde a, b são inteiros positivos primos entre si, qual o valor de a+ b?

Matematicamente

ano passado

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Nivelamento I

Respostas

Ed

ano passado

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e propriedades dos triângulos. Dado que AB = 6, BC = 4 e AC = 8, podemos perceber que o triângulo ABC é um triângulo retângulo em B, pois BC é perpendicular a AB. Calculando o perímetro do triângulo ABC: Perímetro = AB + BC + AC Perímetro = 6 + 4 + 8 Perímetro = 18 Agora, vamos calcular o semiperímetro do triângulo ABC: Semiperímetro = Perímetro / 2 Semiperímetro = 18 / 2 Semiperímetro = 9 Agora, podemos usar a fórmula do raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo: Raio = (AB + BC - AC) / 2 Raio = (6 + 4 - 8) / 2 Raio = 2 / 2 Raio = 1 Como o segmento paralelo a BC é tangente ao incírculo, ele forma um triângulo retângulo com o raio do círculo inscrito. Assim, temos um triângulo retângulo com catetos de 1 e 4 (metade de BC). Podemos então calcular o comprimento do segmento MN utilizando o Teorema de Pitágoras: MN² = 4² - 1² MN² = 16 - 1 MN² = 15 MN = √15 Portanto, MN = √15, o que significa que a = 15 e b = 1. Como a e b são primos entre si, a soma a + b é 15 + 1 = 16. Assim, o valor de a + b é 16.

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Questão 1. Considere as afirmações:
I. Se a1, a2, ..., am são números positivos que formam uma progressão aritmética, então
1√ a1+ √ a2 + 1√ a2+ √ a3 + ...+ 1√ am−1+ √ am = m−1√ a1+ √ am.
II. Se b1, b2, ..., bn, ... formam uma progressão geométrica com bm+n = A e bm−n = B, então bm =√ AB.
III. Se c1, c2, ..., cp são não nulos e formam uma progressão aritmética, então
1/c1c2 + 1/c2c3 + ...+ 1/cp−1cp = p−1/c1cp
Destas, é(são) correta(s)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas I e III.
C ( ) I, II e III.
D ( ) apenas II e III.
E ( ) apenas I e II.

A ( ) apenas I.
B ( ) apenas I e III.
C ( ) I, II e III.
D ( ) apenas II e III.
E ( ) apenas I e II.

Questão 2. A função polinomial f : R+ → R+ satisfaz a equação funcional f(f(x)) = 6x + f(x).
Então o valor de f(17) é igual a
A ( ) − 51.
B ( ) − 34.
C ( ) 34.
D ( ) 51.
E ( ) 17

A ( ) − 51.
B ( ) − 34.
C ( ) 34.
D ( ) 51.
E ( ) 17

Questão 3. Considere as afirmações abaixo:
I. Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não-nula e não-inversível, então existe matriz não-nula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz nula.
II. Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det(M2−M) = 0, então existe matriz não-nula X, de ordem n× 1, tal que MX = X.
III. A matriz
[cos θ - senθ; tgθ; sec θ; 1- 2 sen² θ/2]
é inversível, ∀θ ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Destas, é(são) verdadeira(s)
A ( ) apenas II.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas I e III.
D ( ) apenas II e III.
E ( ) todas.

A ( ) apenas II.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas I e III.
D ( ) apenas II e III.
E ( ) todas.

Questão 4. Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda:
I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos.
II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos.
III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos.
Pode-se afirmar que
A ( ) dos três resultados, I é o mais provável.
B ( ) dos três resultados, II é o mais provável.
C ( ) dos três resultados, III é o mais provável.
D ( ) os resultados I e II são igualmente prováveis.
E ( ) os resultados II e III são igualmente prováveis.

A ( ) dos três resultados, I é o mais provável.
B ( ) dos três resultados, II é o mais provável.
C ( ) dos três resultados, III é o mais provável.
D ( ) os resultados I e II são igualmente prováveis.
E ( ) os resultados II e III são igualmente prováveis.

Questão 5. Uma moeda justa é lançada até cair cara. Qual é a probabilidade da cara aparecer após um número ímpar de lançamentos?
A ( ) 1/2.
B ( ) 2/3.
C ( ) 5/16.
D ( ) 4/9.
E ( ) 1/3.

A ( ) 1/2.
B ( ) 2/3.
C ( ) 5/16.
D ( ) 4/9.
E ( ) 1/3.

Questão 6. As raízes da equação z5 = 4 - 4i possuem argumentos que são da forma kjπ/20, j = 1, 2, 3, 4, 5, onde kj são inteiros positivos menores que 40. Assim, a soma k1 + k2 + k3 + k4 + k5 é igual a
A ( ) 105.
B ( ) 110.
C ( ) 115.
D ( ) 120.
E ( ) 125.

A ( ) 105.
B ( ) 110.
C ( ) 115.
D ( ) 120.
E ( ) 125.

Questão 7. Das afirmações:
I. 1/2 sen10° - 2 sen70° = 1;
II. cos π/5 - cos 2π/5 = 1/2;
III. cos 20° cos 40° cos 80° = 1/8,
é (são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas I e III.
D ( ) apenas II e III.
E ( ) todas.

A ( ) apenas I.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas I e III.
D ( ) apenas II e III.
E ( ) todas.

Questão 9. Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48 cm², a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a 2/3. Das afirmações abaixo:
I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem √97 cm;
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então cosα = 3√97,
é (são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas II.
C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e III.
E ( ) apenas II e III.

A ( ) apenas I.
B ( ) apenas II.
C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e III.
E ( ) apenas II e III.

Questão 10. Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, √10, √17 e 5cm. O volume, em cm³, do sólido VABC é
A ( ) 2
B ( ) 4
C ( ) √17
D ( ) 6
E ( ) 5√10.

A ( ) 2
B ( ) 4
C ( ) √17
D ( ) 6
E ( ) 5√10