Vamos analisar cada afirmativa: (I) A reparametrização \( \beta \) por \( h \) será \( \beta(u) = \alpha \circ h(u) = (-2u + 1, -4u + 2) \). Para verificar isso, precisamos calcular \( \beta(u) \): - \( h(u) = -2u + 1 \) - Então, \( \alpha(h(u)) = \alpha(-2u + 1) = (-2u + 1, 2(-2u + 1)) = (-2u + 1, -4u + 2) \). Portanto, a afirmativa (I) está correta. (II) \( \alpha \) e \( \beta \) têm orientações opostas. Para verificar isso, precisamos observar a derivada das parametrizações: - A derivada de \( \alpha(t) = (t, 2t) \) é \( \alpha'(t) = (1, 2) \), que é positiva. - A derivada de \( \beta(u) = (-2u + 1, -4u + 2) \) é \( \beta'(u) = (-2, -4) \), que é negativa. Portanto, a afirmativa (II) está correta. (III) \( h'(u) = -2 < 0 \). A derivada de \( h(s) = -2s + 1 \) é \( h'(s) = -2 \), que é de fato menor que zero. Portanto, a afirmativa (III) está correta. Agora, como todas as afirmativas (I), (II) e (III) estão corretas, a alternativa correta é: E) (I), (II) e (III).

Vamos analisar cada afirmativa: (I) A reparametrização β por h será β(u) = α ∘ h(u) = (-2u + 1, -4u + 2). Para verificar se essa afirmação está correta, precisamos substituir os valores de h(s) = -2s + 1 na curva α(t) = (t, 2t). Assim, teremos β(u) = α(h(u)) = α(-2u + 1) = (-2u + 1, -4u + 2). Portanto, a afirmativa (I) está correta. (II) α e β têm orientações opostas. Para verificar se as curvas têm orientações opostas, podemos analisar a derivada vetorial das curvas. Se a derivada vetorial de uma curva for o oposto da derivada vetorial da outra curva, então elas têm orientações opostas. Neste caso, a derivada vetorial de α é (1, 2) e a derivada vetorial de β é (-2, -4). Como (-2, -4) = -2(1, 2), podemos dizer que as curvas têm orientações opostas. Portanto, a afirmativa (II) está correta. (III) h'(u) = -2 < 0. A derivada de h(u) é -2, que é de fato menor que zero. Portanto, a afirmativa (III) está correta. Com base na análise acima, todas as afirmativas (I), (II) e (III) estão corretas. Portanto, a alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: E) (I), (II) e (III).