Problemas de Otimização em Cálculo

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Centro Universitário Internacional UNINTER 
 Escola Superior de Educação 
 Cursos de EXATAS 
 
 
 
Cálculo Diferencial 
Aplicações de Derivada – Problemas de Otimização 
Lista 06 
 
Resolva os seguintes problemas: 
 
1) Um carpinteiro recebeu a 
missão de construir uma 
caixa aberta de fundo 
quadrado. O material usado 
para fazer os lados da caixa 
custa R$ 3,00 o metro 
quadrado e o material usado 
para fazer o fundo custa R$ 
4,00 o metro quadrado. 
Quais são as dimensões da 
caixa de maior volume que 
pode ser construída por R$ 
60,00? 
 
2) Um tanque tem a forma de 
um cone invertido, tendo 
altura de 4 m e raio da base 
(isto é, do topo) de 1 m. O 
tanque se enche de água à 
taxa de 2 m³/min. Com que 
velocidade sobe o nível da 
água no instante em que ela 
tem 3 m de profundidade? 
 
 
3) Uma caixa sem tampa, de 
base quadrada, deve ser 
construída de forma que o 
seu volume seja 2.500 m³. O 
material da base vai custar 
R$ 1.200,00 por m² e o 
material dos lados R$ 980,00 
por m². Determine as 
dimensões da caixa de modo 
que o custo do material seja 
mínimo. 
 
4) Uma caixa de base 
quadrada, sem tampa, deve 
ter 1 m³ de volume. 
 
 
 
Determine as dimensões que 
exigem o mínimo de 
material. (Desprezar a 
espessura do material e as 
perdas na construção da 
caixa). 
 
 
 
GABARITO: 
 
1) 𝑥 = 2,236 𝑚 
𝑦 = 1,491 𝑚 
 
2) 𝑑ℎ/𝑑𝑡 = 1,132 𝑚/𝑚𝑖𝑛 
 
3) 𝑥 = 15,983 𝑚 
𝑦 = 9,786 𝑚 
 
4) 𝑥 = 1,26 𝑚 
𝑦 = 0,63 𝑚