Para calcular o comprimento da curva, utilizamos a fórmula: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \] Vamos analisar cada uma das opções: (a) \( x = 1 + 3t^2, y = 4 + 2t^3, 0 \leq t \leq 1 \) Calculando as derivadas: \[ \frac{dx}{dt} = 6t, \quad \frac{dy}{dt} = 6t^2 \] Substituindo na fórmula: \[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{(6t)^2 + (6t^2)^2} \, dt = \int_{0}^{1} \sqrt{36t^2 + 36t^4} \, dt = \int_{0}^{1} 6t\sqrt{1 + t^2} \, dt \] (b) \( x = t^2 + t - t^2, y = 5 - 2t, 0 \leq t \leq 3 \) Aqui, simplificando \( x \): \[ x = t, \quad y = 5 - 2t \] As derivadas são: \[ \frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = -2 \] Substituindo na fórmula: \[ L = \int_{0}^{3} \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} \, dt = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + 4} \, dt = \int_{0}^{3} \sqrt{5} \, dt = 3\sqrt{5} \] (c) \( x = t \sin t, y = t \cos t, 0 \leq t \leq 1 \) As derivadas são: \[ \frac{dx}{dt} = \sin t + t \cos t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t - t \sin t \] Substituindo na fórmula, o cálculo é mais complexo. (d) \( x = 3 \cos t - \cos 3t, y = 3 \sin t - \sin 3t, 0 \leq t \leq 2\pi \) As derivadas são: \[ \frac{dx}{dt} = -3 \sin t + 3 \sin 3t, \quad \frac{dy}{dt} = 3 \cos t - 3 \cos 3t \] Substituindo na fórmula, o cálculo também é mais complexo. Dentre as opções, a mais simples e direta para calcular o comprimento da curva é a (b), que resulta em \( 3\sqrt{5} \). Portanto, a resposta correta é: (b).