Exercícios de Cálculo II

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<p>Disciplina: Cálculo II</p><p>Professor: Welber Faustino</p><p>Lista de Exercícios 3</p><p>Esta lista é composta por quatorze exercícios. Novos conceitos introduzidos nesta lista</p><p>poderão ser avaliados na prova.</p><p>Exercício 1. Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos.</p><p>Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando 𝑡 aumenta.</p><p>(a) 𝑥 = 1 + √𝑡, 𝑦 = 𝑡2 − 4𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 5</p><p>(b) 𝑥 = 2 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑡 − cos 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋</p><p>(c) 𝑥 = cos2𝑡, 𝑦 = 1 − sen 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2⁄</p><p>(d) 𝑥 = 𝑒−𝑡, 𝑦 = 𝑒𝑡 − 𝑡, −2 ≤ 𝑡 ≤ 2</p><p>Exercício 2. Para os itens abaixo: (i) Esboce a curva usando as equações paramétricas</p><p>para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando</p><p>𝑡 aumenta. (ii) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.</p><p>(a) 𝑥 = 3 − 4𝑡, 𝑦 = 2 − 3𝑡</p><p>(b) 𝑥 = 1 − 2𝑡, 𝑦 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑡 − 1, −2 ≤ 𝑡 ≤ 4</p><p>(c) 𝑥 = 1 − 𝑡2, 𝑦 = 𝑡 − 2, −2 ≤ 𝑡 ≤ 2</p><p>(d) 𝑥 = 𝑡 − 1, 𝑦 = 𝑡3 + 1, −2 ≤ 𝑡 ≤ 2</p><p>(e) 𝑥 = √𝑡, 𝑦 = 1 − 𝑡</p><p>(f) 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑡3</p><p>Exercício 3. (i) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. (ii)</p><p>Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o</p><p>parâmetro aumenta.</p><p>(a) 𝑥 = sen (</p><p>𝜃</p><p>2</p><p>), 𝑦 = cos (</p><p>𝜃</p><p>2</p><p>), −𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋</p><p>(b) 𝑥 = sen(𝑡), 𝑦 = cossec(𝑡), 0 < 𝑡 < 𝜋 2⁄</p><p>(c) 𝑥 = 𝑒2𝑡, 𝑦 = 𝑡 + 1</p><p>Exercício 4. Trace as seguintes curvas e determine as equações paramétricas de suas retas</p><p>tangentes nos pontos 𝑃0 determinados por 𝑡0.</p><p>(a) 𝑟(𝑡) = (𝑡2,</p><p>4</p><p>𝑡2</p><p>) , 𝑡 ∈ (0, +∞), 𝑡0 = 2</p><p>(b) 𝑟(𝑡) = (−2 + 𝑡2, 3 + 4𝑡2), 𝑡 ∈ [1, 5], 𝑡0 = 2</p><p>(c) 𝑟(𝑡) = (4 sen 𝑡 , 3 cos 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝜋], 𝑡0 = 𝜋 3⁄</p><p>(d) 𝑟(𝑡) = (3𝑒𝑡, 4𝑒2𝑡), 𝑡 ∈ (−∞, +∞), 𝑡0 = 0</p><p>(e) 𝑟(𝑡) = (𝑡2, sen (</p><p>𝑡2</p><p>𝜋</p><p>)) , 𝑡 ∈ [0, 2𝜋], 𝑡0 = 𝜋</p><p>(f) 𝑟(𝑡) = (4 +cos 𝑡 , 3 + sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝜋], 𝑡0 = 𝜋 4⁄</p><p>Exercício 5. (a) Parametrize a trajetória de uma partícula que se move em linha reta</p><p>partindo do ponto (0,1) com velocidade constante dada pelo vetor (1,1).</p><p>(b) Qual a trajetória da partícula se, agora, a sua velocidade é dada pelo vetor (2,2).</p><p>(c) As duas equações encontradas acima, representam o mesmo movimento? A função</p><p>𝑦 = 𝑓(𝑥) que representa a equação cartesiana da trajetória da partícula é igual nos dois</p><p>casos acima?</p><p>Exercício 6. (a) Encontre uma representação paramétrica para o círculo 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 −</p><p>2𝑦 − 4 = 0.</p><p>(b) Encontre uma representação paramétrica para a trajetória de uma partícula que se</p><p>move a partir do ponto (𝑅, 0), sobre um círculo de raio 𝑅 e centro (0,0), com velocidade</p><p>angular constante igual a 𝜔 rd/s.</p><p>Exercício 7. Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se</p><p>move ao longo do círculo 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 4 da seguinte maneira:</p><p>(a) Uma vez no sentido horário, a partir de (2, 1).</p><p>(b) Três vezes no sentido anti-horário, a partir de (2, 1).</p><p>(c) Meia-volta no sentido anti-horário, a partir de (0, 3).</p><p>Exercício 8. a) Encontre uma representação paramétrica para a elipse</p><p>𝑥2</p><p>𝑎2 +</p><p>𝑦2</p><p>𝑏2 = 1.</p><p>(b) Encontre uma representação paramétrica para a elipse 4𝑥2 + 9𝑦2 − 8𝑥 − 36𝑦 + 4 =</p><p>0.</p><p>Exercício 9. Uma haste, presa na origem do plano 𝑥𝑦, ocupa a posição da reta 𝑦 = 𝑡𝑥.</p><p>A haste intercepta a reta 𝑥 = 6 no ponto 𝑆 e a parábola 𝑦2 = −6𝑥 + 24 no ponto 𝑄 (veja</p><p>figura abaixo). Quando 𝑡 varia, o vértice 𝑃 do triângulo 𝑄𝑃𝑆, de hipotenusa 𝑄𝑆, descreve</p><p>uma curva 𝛼(𝑡).</p><p>(a) Encontre as equações paramétricas da curva 𝛼.</p><p>(b) Esboce o gráfico de 𝛼.</p><p>(c) Determine sua equação cartesiana.</p><p>Exercício 10. Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:</p><p>𝛼1(𝑡) = (2 + 𝑡, −2 +</p><p>𝑡2</p><p>2</p><p>) e 𝛼2(𝑡) = (−8 + 7𝑡, −1 +</p><p>7𝑡</p><p>2</p><p>) , 𝑡 ≥ 0</p><p>(a) Os carros se chocarão? Justifique sua resposta!</p><p>(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.</p><p>(c) As estradas se cruzam? Em quais pontos?</p><p>(d) Qual a velocidade do primeiro carro no instante 𝑡 = 2?</p><p>Exercício 11. Uma partícula partindo do ponto 𝐴 = (1, 0), se move com vetor posição</p><p>𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)). Sabe-se que o vetor velocidade é dado por 𝑣(𝑡) = (𝑦(𝑡) +</p><p>𝑒𝑡; 𝑥(𝑡) + 𝑒−𝑡). Determine o vetor posição 𝛼(𝑡).</p><p>Exercício 12. Calcule a área delimitada pela curva 𝑥 = 𝑡2 − 𝑡, 𝑦 = √𝑡 e pelo eixo 𝑦.</p><p>Exercício 13. Encontre a área delimitada pelo eixo 𝑥 e pela curva 𝑥 = 1 + 𝑒𝑡, 𝑦 = 𝑡 −</p><p>𝑡2.</p><p>Exercício 14. Calcule o comprimento da curva.</p><p>(a) 𝑥 = 1 + 3𝑡2, 𝑦 = 4 + 2𝑡3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1</p><p>(b) 𝑥 = 𝑒𝑡 + 𝑒−𝑡, 𝑦 = 5 − 2𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 3</p><p>(c) 𝑥 = 𝑡 sen 𝑡, 𝑦 = 𝑡 cos 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1</p><p>(d) 𝑥 = 3 cos 𝑡 − cos 3𝑡, 𝑦 = 3 sen 𝑡 − sen 3𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋</p>