Obtenha a solução da equação de Bombelli � �3 = 15???? + 4 como uma soma ou diferença de ra[izes cúbicas de números imaginários ( complexos).

Para resolver a equação de Bombelli \( x^3 = 15x + 4 \), podemos reescrevê-la como: \[ x^3 - 15x - 4 = 0. \] Usando a fórmula de Cardano, que é uma técnica para resolver equações cúbicas, podemos encontrar as raízes. 1. Identifique os coeficientes: Aqui, \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( c = -15 \), \( d = -4 \). 2. Calcule \( \Delta \) (discriminante): \[ \Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^2 - 27a^2d^2. \] Substituindo os valores, temos: \[ \Delta = 18(1)(0)(-15)(-4) - 4(0)^3(-4) + (0)^2(-15)^2 - 4(1)(-15)^2 - 27(1)^2(-4)^2. \] Simplificando, encontramos que \( \Delta < 0 \), indicando que há uma raiz real e duas raízes complexas. 3. Calcule a raiz real usando a fórmula de Cardano: \[ x = \sqrt[3]{-\frac{d}{2} + \sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{d}{2} - \sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{3}\right)^3}}. \] 4. Substitua os valores: \[ x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{4 + 0}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{4 + 0}}. \] 5. Simplifique: \[ x = \sqrt[3]{2 + 2} + \sqrt[3]{2 - 2} = \sqrt[3]{4} + 0 = \sqrt[3]{4}. \] As outras duas raízes complexas podem ser expressas como: \[ x_2 = \sqrt[3]{4} \cdot \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right), \] \[ x_3 = \sqrt[3]{4} \cdot \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right). \] Portanto, a solução da equação de Bombelli pode ser expressa como a soma ou diferença de raízes cúbicas de números imaginários.