Grátis: 6. Escreva os seguintes números na forma polar considerando como argumento o valor principal: (a) 1 + i. (b) −1− i. (c) 1+i/1−i. (d) 5/i − 2/i3. ...

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6. Escreva os seguintes números na forma polar considerando como argumento o valor principal:

(a) 1 + i.
(b) −1− i.
(c) 1+i/1−i.
(d) 5/i − 2/i3.
(e) 3i+ 1/2−i.
(f) (1 + i)3.

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Números Complexos e Funções

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2. Sejam z, w ∈ C, w ̸= 0. Mostre que

(a) arg(z · w) = arg(z) + arg(w).
(b) arg(z/w) = arg(z)− arg(w).
(c) Arg(zw) ̸= Arg(z) + Arg(w).

3. Sejam z = 2 + i e w = 3 + i.

(a) Determine zw.
(b) Conclua que π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3).

4. Sejam a, b, c ∈ C tais que |a| ≠ |b|. Determine os valores de z tais que az+bz+c = 0.

5. Sejam z, w ∈ C, k ∈ R e n ∈ N∗. Mostre que

(a) |ℜ(z)| ≤ |z| e |ℑ(z)| ≤ |z|.
(b) |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2).
(c) |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + ℜ(zw).
(d) |z + w|2 ≤ |z|2 + |w|2.

7. Esboce o conjunto solução das seguintes inequações. Determine se esses conjuntos são abertos, fechados e/ou simplesmente conexos.

(a) z + z = |z|2.
(b) z2 + iz + 1 = 0.
(c) ℜ(z2) ≤ −1.
(d) 2 < |z + 3 + i| < 4.
(e) ℑ(z) < ℜ(z).
(f) |z − 2| ≥ |z − 3|.

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2. Sejam z, w ∈ C, w ̸= 0. Mostre que

(a) arg(z · w) = arg(z) + arg(w).
(b) arg(z/w) = arg(z)− arg(w).
(c) Arg(zw) ̸= Arg(z) + Arg(w).

3. Sejam z = 2 + i e w = 3 + i.

(a) Determine zw.
(b) Conclua que π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3).

4. Sejam a, b, c ∈ C tais que |a| ≠ |b|. Determine os valores de z tais que az+bz+c = 0.

5. Sejam z, w ∈ C, k ∈ R e n ∈ N∗. Mostre que

(a) |ℜ(z)| ≤ |z| e |ℑ(z)| ≤ |z|.
(b) |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2).
(c) |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + ℜ(zw).
(d) |z + w|2 ≤ |z|2 + |w|2.

7. Esboce o conjunto solução das seguintes inequações. Determine se esses conjuntos são abertos, fechados e/ou simplesmente conexos.

(a) z + z = |z|2.
(b) z2 + iz + 1 = 0.
(c) ℜ(z2) ≤ −1.
(d) 2 < |z + 3 + i| < 4.
(e) ℑ(z) < ℜ(z).
(f) |z − 2| ≥ |z − 3|.

8. Determine todas as soluções da equação z2 = z.

9. Seja p um polinômio complexo de coeficientes reais. Sabendo que p(1 − i) = 1 + 2i determine p(1 + i).

10. Seja n ∈ N∗. Determine todos os valores posśıveis para a expressão 1 + i+ i2 + . . .+ in.

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2. Sejam z, w ∈ C, w ̸= 0. Mostre que(a) arg(z · w) = arg(z) + arg(w).(b) arg(z/w) = arg(z)− arg(w).(c) Arg(zw) ̸= Arg(z) + Arg(w).

3. Sejam z = 2 + i e w = 3 + i.(a) Determine zw.(b) Conclua que π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3).

4. Sejam a, b, c ∈ C tais que |a| ≠ |b|. Determine os valores de z tais que az+bz+c = 0.

5. Sejam z, w ∈ C, k ∈ R e n ∈ N∗. Mostre que(a) |ℜ(z)| ≤ |z| e |ℑ(z)| ≤ |z|.(b) |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2).(c) |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + ℜ(zw).(d) |z + w|2 ≤ |z|2 + |w|2.

7. Esboce o conjunto solução das seguintes inequações. Determine se esses conjuntos são abertos, fechados e/ou simplesmente conexos.(a) z + z = |z|2.(b) z2 + iz + 1 = 0.(c) ℜ(z2) ≤ −1.(d) 2 < |z + 3 + i| < 4.(e) ℑ(z) < ℜ(z).(f) |z − 2| ≥ |z − 3|.

8. Determine todas as soluções da equação z2 = z.

9. Seja p um polinômio complexo de coeficientes reais. Sabendo que p(1 − i) = 1 + 2i determine p(1 + i).

10. Seja n ∈ N∗. Determine todos os valores posśıveis para a expressão 1 + i+ i2 + . . .+ in.

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2. Sejam z, w ∈ C, w ̸= 0. Mostre que

(a) arg(z · w) = arg(z) + arg(w).
(b) arg(z/w) = arg(z)− arg(w).
(c) Arg(zw) ̸= Arg(z) + Arg(w).

3. Sejam z = 2 + i e w = 3 + i.

(a) Determine zw.
(b) Conclua que π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3).

5. Sejam z, w ∈ C, k ∈ R e n ∈ N∗. Mostre que

(a) |ℜ(z)| ≤ |z| e |ℑ(z)| ≤ |z|.
(b) |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2).
(c) |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + ℜ(zw).
(d) |z + w|2 ≤ |z|2 + |w|2.

7. Esboce o conjunto solução das seguintes inequações. Determine se esses conjuntos são abertos, fechados e/ou simplesmente conexos.

(a) z + z = |z|2.
(b) z2 + iz + 1 = 0.
(c) ℜ(z2) ≤ −1.
(d) 2 < |z + 3 + i| < 4.
(e) ℑ(z) < ℜ(z).
(f) |z − 2| ≥ |z − 3|.