Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ¯ Dados a > 1 e A > 0, existe N ∈N tal que aN > A.

Para mostrar que as afirmações são equivalentes, vamos analisar cada parte: 1. Dados a > 1 e A > 0: Isso significa que a base \( a \) é maior que 1, e \( A \) é um número positivo. 2. Existir \( N \in \mathbb{N} \) tal que \( a^N > A \): Precisamos provar que, dado \( a > 1 \) e \( A > 0 \), sempre podemos encontrar um número natural \( N \) que satisfaça essa condição. ### Passo a Passo: - Como \( a > 1 \), sabemos que \( a^N \) cresce exponencialmente à medida que \( N \) aumenta. - Para qualquer \( A > 0 \), podemos escolher um \( N \) suficientemente grande. Por exemplo, se escolhermos \( N \) tal que \( a^N > A \), isso é possível porque a função \( a^N \) tende ao infinito conforme \( N \) aumenta. - Portanto, existe um \( N \) tal que \( a^N > A \). ### Conclusão: Assim, mostramos que, para \( a > 1 \) e \( A > 0 \), sempre existe um \( N \in \mathbb{N} \) tal que \( a^N > A \). Portanto, as afirmações são equivalentes.