Para mostrar que \( f(m + n) = f(m) + f(n) \) e \( f(mn) = f(m)f(n) \) por indução, siga os passos abaixo: ### Base da Indução 1. Para \( n = 0 \): - Mostre que \( f(m + 0) = f(m) + f(0) \). - Isso deve ser verdadeiro para a função \( f \). ### Passo Indutivo 2. Assuma que é verdadeiro para \( n = k \): - \( f(m + k) = f(m) + f(k) \) e \( f(mk) = f(m)f(k) \). 3. Mostre que é verdadeiro para \( n = k + 1 \): - Para a soma: \[ f(m + (k + 1)) = f((m + k) + 1) = f(m + k) + f(1) = (f(m) + f(k)) + f(1) \] - Para o produto: \[ f(m(k + 1)) = f(mk + m) = f(mk) + f(m) = f(m)f(k) + f(m) \] ### Conclusão 4. Conclua que a propriedade se mantém para todos os \( n \in \mathbb{N} \). Esse é o esboço da prova por indução. Se precisar de mais detalhes sobre cada passo, é só avisar!