Dados x, x ′, y, y ′, z ∈K quaisquer, prove as afirmações abaixo: ° x > 0 se e só se 1/x > 0.

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Para provar que \( x > 0 \) se e só se \( \frac{1}{x} > 0 \), vamos analisar as duas direções da afirmação. 1. Se \( x > 0 \): - Se \( x \) é um número positivo, então \( \frac{1}{x} \) também será positivo, pois a divisão de um número positivo por outro número positivo resulta em um número positivo. Portanto, \( \frac{1}{x} > 0 \). 2. Se \( \frac{1}{x} > 0 \): - Se \( \frac{1}{x} \) é positivo, isso significa que \( x \) não pode ser zero ou negativo. Se \( x \) fosse negativo, \( \frac{1}{x} \) seria negativo. Portanto, \( x \) deve ser positivo, ou seja, \( x > 0 \). Assim, concluímos que \( x > 0 \) se e só se \( \frac{1}{x} > 0 \).

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A letra K denota um corpo ordenado qualquer. Verifique as seguintes propriedades para quaisquer x, y, z ∈K: (Unicidade do inverso multiplicativo) Se x, y, z são não-nulos e x y = 1 = xz então y = z.

Dados x, x ′, y, y ′, z ∈K quaisquer, prove as afirmações abaixo: µ Se x, y > 0 e x + y = 0 então x = y = 0. Em particular, se x2 + y2 = 0 então x = y = 0.

Considere os conjuntos N,Z,Q formados pelo números naturais, inteiros e racionais, respectivamente. ¬ Seja f : N→K definida indutivamente por f (1) = 1 e f (n+1) = f (n)+1, i.e., f (n) = 1+ . . .+1︸︷︷︸ n vezes para n ≥ 1. Mostre que f é crescente, i.e., m < n implica f (m) < f (n), para todos m,n ∈N. Em particular, f é injetora. Isso nos permite considerar N⊂K.

Considere os conjuntos N,Z,Q formados pelo números naturais, inteiros e racionais, respectivamente. Mostre, por indução, que f (m + n) = f (m) + f (n) e f (mn) = f (m) f (n) para quaisquer m,n ∈N.

Considere n > 1 um número inteiro. Dados k, l ∈Z, dizemos que k ≡ l (mod n) se e só se k − l é múltiplo de n. ¬ Mostre que ≡ define uma relação de equivalência em Z. A classe de equivalência de um inteiro k é denotada por k e o conjunto de todas as classes de equivalência é denotado por Zn . Tal conjunto é chamado, às vezes, de conjunto dos inteiros módulo n. Evidentemente, Zn = {0,1, . . . ,n −1}.

Sejam a1, . . . , an ,b1, . . . ,bn ∈R. Prove a desigualdade de Cauchy-Schwarz: n∑ j=1 |a j b j | ≤ ((n∑ j=1 a2 j )1/2 · (n∑ j=1 b2 j )1/2. Mostre que ocorre a igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz se e somente se existe α ∈R tal que b j =αa j ou a j =αb j para cada j = 1, . . . ,n.

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Dados x, x ′, y, y ′, z ∈K quaisquer, prove as afirmações abaixo: ° x > 0 se e só se 1/x > 0.

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A letra K denota um corpo ordenado qualquer. Verifique as seguintes propriedades para quaisquer x, y, z ∈K: (Unicidade do inverso multiplicativo) Se x, y, z são não-nulos e x y = 1 = xz então y = z.

Dados x, x ′, y, y ′, z ∈K quaisquer, prove as afirmações abaixo: µ Se x, y > 0 e x + y = 0 então x = y = 0. Em particular, se x2 + y2 = 0 então x = y = 0.

Considere os conjuntos N,Z,Q formados pelo números naturais, inteiros e racionais, respectivamente. Mostre, por indução, que f (m + n) = f (m) + f (n) e f (mn) = f (m) f (n) para quaisquer m,n ∈N.

Sejam a1, . . . , an ,b1, . . . ,bn ∈R. ® Prove a desigualdade de Minkowski: (n∑ j=1 (a j +b j )2)1/2 ≤ ((n∑ j=1 a2 j )1/2 + (n∑ j=1 b2 j )1/2.

Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ¯ Dados a > 1 e A > 0, existe N ∈N tal que aN > A.

Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ° Dados 0 < a < 1 e ε> 0 existe N ∈N tal que aN < ε.

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Dados x, x ′, y, y ′, z ∈K quaisquer, prove as afirmações abaixo: ° x > 0 se e só se 1/x > 0.

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A letra K denota um corpo ordenado qualquer. Verifique as seguintes propriedades para quaisquer x, y, z ∈K: ­ (Unicidade do inverso multiplicativo) Se x, y, z são não-nulos e x y = 1 = xz então y = z.

Dados x, x ′, y, y ′, z ∈K quaisquer, prove as afirmações abaixo: µ Se x, y > 0 e x + y = 0 então x = y = 0. Em particular, se x2 + y2 = 0 então x = y = 0.

Considere os conjuntos N,Z,Q formados pelo números naturais, inteiros e racionais, respectivamente. ­ Mostre, por indução, que f (m + n) = f (m) + f (n) e f (mn) = f (m) f (n) para quaisquer m,n ∈N.

Sejam a1, . . . , an ,b1, . . . ,bn ∈R. ® Prove a desigualdade de Minkowski: (n∑ j=1 (a j +b j )2)1/2 ≤ ((n∑ j=1 a2 j )1/2 + (n∑ j=1 b2 j )1/2.

Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ¯ Dados a > 1 e A > 0, existe N ∈N tal que aN > A.

Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ° Dados 0 < a < 1 e ε> 0 existe N ∈N tal que aN < ε.

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Considere os conjuntos N,Z,Q formados pelo números naturais, inteiros e racionais, respectivamente. Mostre, por indução, que f (m + n) = f (m) + f (n) e f (mn) = f (m) f (n) para quaisquer m,n ∈N.