Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ° Dados 0 < a < 1 e ε> 0 existe N ∈N tal que aN < ε.

Para mostrar que as afirmações são equivalentes, vamos analisar cada parte: 1. Dados \(0 < a < 1\): Isso significa que \(a\) é um número positivo menor que 1. 2. Para todo \(\varepsilon > 0\): Queremos mostrar que, para qualquer número positivo \(\varepsilon\), existe um \(N \in \mathbb{N}\) tal que \(a^N < \varepsilon\). Passo a passo: - Como \(0 < a < 1\), sabemos que \(a^N\) tende a 0 conforme \(N\) aumenta. Isso significa que, à medida que \(N\) se torna maior, \(a^N\) se torna cada vez menor. - Para um dado \(\varepsilon > 0\), podemos encontrar um \(N\) suficientemente grande. Especificamente, podemos escolher \(N\) tal que: \[ N > \frac{\log(\varepsilon)}{\log(a)} \] Isso garante que \(a^N < \varepsilon\). - Assim, para qualquer \(\varepsilon > 0\), existe um \(N\) que satisfaz a condição \(a^N < \varepsilon\). Conclusão: Portanto, as afirmações são equivalentes, pois a condição inicial \(0 < a < 1\) garante que sempre podemos encontrar um \(N\) para qualquer \(\varepsilon > 0\) que satisfaça \(a^N < \varepsilon\).