Encontre o número real k para o qual a matriz [−1 3; k 9] tem um autovalor com multiplicidade 2.

Para que a matriz \(\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ k & 9 \end{pmatrix}\) tenha um autovalor com multiplicidade 2, o determinante da matriz \(A - \lambda I\) deve ser igual a zero e a derivada do polinômio característico também deve ser zero nesse ponto. 1. Matriz característica: \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -1 - \lambda & 3 \\ k & 9 - \lambda \end{pmatrix} \] 2. Determinante: \[ \text{det}(A - \lambda I) = (-1 - \lambda)(9 - \lambda) - 3k \] \[ = \lambda^2 - 8\lambda + (9 + k) \] 3. Condição para multiplicidade 2: O discriminante do polinômio quadrático deve ser zero: \[ b^2 - 4ac = 0 \] Aqui, \(a = 1\), \(b = -8\) e \(c = 9 + k\): \[ (-8)^2 - 4(1)(9 + k) = 0 \] \[ 64 - 36 - 4k = 0 \] \[ 28 - 4k = 0 \] \[ 4k = 28 \implies k = 7 \] Portanto, o valor de \(k\) para que a matriz tenha um autovalor com multiplicidade 2 é \(k = 7\).