Qual é o valor de( -1+√2.i/2) expoente 3 ?

Para calcular \((-1 + \frac{\sqrt{2}}{2} i)^3\), vamos usar a forma polar ou a fórmula de binômio de Newton. 1. Identifique a forma: \(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2} i\) pode ser escrito como \(r(\cos \theta + i \sin \theta)\), onde: - \(r = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\) - \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-1}\right) = \frac{3\pi}{4}\) (no segundo quadrante) 2. Forma polar: \(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2} i = \frac{\sqrt{6}}{2} \left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right)\) 3. Elevar à potência 3: \[ \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{3\pi}{4}\right)\right) \] \[ = \frac{6\sqrt{6}}{8} \left(\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)\right) \] \(\frac{9\pi}{4}\) é equivalente a \(\frac{\pi}{4}\) (pois \(9\pi/4 - 2\pi = \pi/4\)). 4. Cálculo final: \[ = \frac{6\sqrt{6}}{8} \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right) \] \[ = \frac{6\sqrt{6}}{8} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ = \frac{6\sqrt{6}}{16} (\sqrt{2} + i\sqrt{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{8} (\sqrt{2} + i\sqrt{2}) \] Portanto, o valor de \((-1 + \frac{\sqrt{2}}{2} i)^3\) é \(\frac{3\sqrt{3}}{8} (\sqrt{2} + i\sqrt{2})\).