Mostre que, se α ∈ Sn é um r-ciclo, então O (α) = r.

Para mostrar que, se \( \alpha \in S_n \) é um \( r \)-ciclo, então \( O(\alpha) = r \), siga os passos abaixo: 1. Definição de ciclo: Um \( r \)-ciclo é uma permutação que move \( r \) elementos e deixa os outros \( n - r \) elementos fixos. Por exemplo, \( \alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_r) \) é um \( r \)-ciclo. 2. Aplicação da permutação: Quando aplicamos \( \alpha \) repetidamente, ela permuta os \( r \) elementos entre si. Após \( r \) aplicações de \( \alpha \), cada elemento retorna à sua posição original. 3. Ordem da permutação: A ordem \( O(\alpha) \) de uma permutação é o menor inteiro positivo \( k \) tal que \( \alpha^k \) é a permutação identidade. Como vimos, \( \alpha^r \) traz todos os elementos de volta à posição original, então \( O(\alpha) \) deve dividir \( r \). 4. Verificação de menor \( k \): Para \( k < r \), \( \alpha^k \) não pode retornar todos os \( r \) elementos à posição original, pois isso exigiria que \( k \) fosse um divisor de \( r \) que não é \( r \) (o que não é possível para um ciclo completo). 5. Conclusão: Portanto, a única possibilidade é que \( O(\alpha) = r \). Assim, mostramos que, se \( \alpha \) é um \( r \)-ciclo, então \( O(\alpha) = r \).