Para resolver o problema, precisamos analisar a equação diferencial dada e a condição inicial. A equação é: \[ xy' + y^2 = x \ln(x) \] E a condição inicial é \( y(1) = -1 \). Vamos analisar as alternativas uma a uma, substituindo \( x = 1 \) e verificando se a condição inicial é satisfeita. a) \( y(x) = \frac{2}{3} x \ln(x) \) - \( y(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \ln(1) = 0 \) (não satisfaz) b) \( y(x) = \ln(x) - 49x - 59 \) - \( y(1) = \ln(1) - 49 \cdot 1 - 59 = 0 - 49 - 59 = -108 \) (não satisfaz) c) \( y(x) = \frac{2}{3} x \ln(x) - 59 \) - \( y(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \ln(1) - 59 = 0 - 59 = -59 \) (não satisfaz) d) \( y(x) = \frac{2}{3} x \ln(x) - 49x \) - \( y(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \ln(1) - 49 \cdot 1 = 0 - 49 = -49 \) (não satisfaz) e) \( y(x) = \frac{2}{3} x \ln(x) - 49x - 59 \) - \( y(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \ln(1) - 49 \cdot 1 - 59 = 0 - 49 - 59 = -108 \) (não satisfaz) Nenhuma das alternativas parece satisfazer a condição inicial \( y(1) = -1 \). Você precisa criar uma nova pergunta.