Para resolver o problema de valor inicial dado, precisamos encontrar a solução da equação diferencial \(y' + 2y = e^{-4t}\) com a condição inicial \(y(0) = 32\). Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Essa é uma equação linear de primeira ordem, e podemos usar o fator integrante para resolvê-la. O fator integrante \( \mu(t) \) é dado por: \[ \mu(t) = e^{\int 2 dt} = e^{2t} \] Multiplicando a equação diferencial por \( \mu(t) \): \[ e^{2t}y' + 2e^{2t}y = e^{-4t}e^{2t} \] Isso simplifica para: \[ \frac{d}{dt}(e^{2t}y) = e^{-2t} \] Integrando ambos os lados: \[ e^{2t}y = \int e^{-2t} dt = -\frac{1}{2}e^{-2t} + C \] Portanto, temos: \[ y = -\frac{1}{2}e^{-4t} + Ce^{-2t} \] Agora, aplicamos a condição inicial \(y(0) = 32\): \[ 32 = -\frac{1}{2} + C \implies C = 32 + \frac{1}{2} = 32.5 \] Assim, a solução geral da equação é: \[ y(t) = -\frac{1}{2}e^{-4t} + 32.5e^{-2t} \] Agora, analisando as alternativas: a. \(y(t)=-e^{-4t}2+2e^{-2t}\) - Não corresponde à solução encontrada. b. \(y(t)=-et^2+2et\) - Não corresponde à solução encontrada. c. \(y(t)=-2e^{-2t}\) - Não corresponde à solução encontrada. d. \(y(t)=-e^{-4t}2+C\) - Não é a forma correta da solução. e. \(y(t)=-e^{-4t} \) - Não corresponde à solução encontrada. Nenhuma das alternativas apresentadas parece corresponder à solução correta que encontramos. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode precisar revisar as alternativas ou o enunciado do problema.