Usando o método do fator integrante para soluções de EDO de 1a ordem lineares, a solução do problema de valor inicial: {y′=2x2−x2yy(0)=1 , é igual ...

Para resolver essa EDO de primeira ordem linear, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante é dado por: μ(x) = e^∫P(x)dx Onde P(x) é o coeficiente de y na equação diferencial. Neste caso, P(x) = -x^2. Então, temos: μ(x) = e^∫-x^2dx μ(x) = e^(-x^3/3) Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por μ(x), obtemos: e^(-x^3/3)y' - x^2e^(-x^3/3)y = 2x^2e^(-x^3/3) Agora, podemos integrar ambos os lados da equação: ∫[e^(-x^3/3)y' - x^2e^(-x^3/3)y]dx = ∫2x^2e^(-x^3/3)dx Usando integração por partes na integral do lado esquerdo, obtemos: -e^(-x^3/3)y + ∫x^2e^(-x^3/3)dx = -2e^(-x^3/3) + C Resolvendo a integral do lado direito, temos: ∫2x^2e^(-x^3/3)dx = -2e^(-x^3/3) + C Substituindo na equação anterior, temos: -e^(-x^3/3)y + ∫x^2e^(-x^3/3)dx = ∫2x^2e^(-x^3/3)dx -e^(-x^3/3)y - 2e^(-x^3/3) = C y(x) = e^(x^3/3)(C - 2) Usando a condição inicial y(0) = 1, temos: 1 = e^(0/3)(C - 2) 1 = C - 2 C = 3 Portanto, a solução do problema de valor inicial é: y(x) = 3e^(x^3/3) - 2 A alternativa correta é a letra c) y(x)=3+e−x33.