Para determinar a massa da lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2) e a função densidade \( f(x, y) = 3 - x + 2y \), precisamos calcular a integral dupla da função densidade sobre a região triangular. 1. Identificar a região: O triângulo é delimitado pelos vértices mencionados. A base está no eixo x, de (0,0) a (1,0), e a altura vai até (0,2). 2. Definir os limites de integração: Para a integral, podemos usar: - \( x \) varia de 0 a 1. - Para cada \( x \), \( y \) varia de 0 até a linha que conecta (1,0) a (0,2), que é dada pela equação \( y = 2 - 2x \). 3. Montar a integral: \[ \text{Massa} = \int_0^1 \int_0^{2 - 2x} (3 - x + 2y) \, dy \, dx \] 4. Calcular a integral interna (em relação a \( y \)): \[ \int_0^{2 - 2x} (3 - x + 2y) \, dy = \left[ (3 - x)y + y^2 \right]_0^{2 - 2x} \] Substituindo os limites: \[ = (3 - x)(2 - 2x) + (2 - 2x)^2 \] 5. Simplificar: \[ = (3 - x)(2 - 2x) + (4 - 8x + 4x^2) \] \[ = 6 - 6x + 2x^2 + 4 - 8x + 4x^2 = 10 - 14x + 6x^2 \] 6. Calcular a integral externa (em relação a \( x \)): \[ \int_0^1 (10 - 14x + 6x^2) \, dx = \left[ 10x - 7x^2 + 2x^3 \right]_0^1 \] \[ = 10 - 7 + 2 = 5 \] Portanto, a massa da lâmina triangular é 5. A alternativa correta é: D) 5.