Para determinar o plano tangente ao gráfico da função \( f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2 \) que é paralelo ao plano \( z = 10x + 5y + 15 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar as derivadas parciais: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y \) 2. Igualar as derivadas às inclinações do plano: O plano \( z = 10x + 5y + 15 \) tem inclinações \( 10 \) e \( 5 \). Portanto, precisamos resolver o sistema: \[ 2x + 3y = 10 \] \[ 3x + 2y = 5 \] 3. Resolver o sistema: Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3, obtemos: \[ 4x + 6y = 20 \] \[ 9x + 6y = 15 \] Subtraindo as duas equações: \[ 5x = -5 \implies x = -1 \] Substituindo \( x = -1 \) na primeira equação: \[ 2(-1) + 3y = 10 \implies -2 + 3y = 10 \implies 3y = 12 \implies y = 4 \] 4. Encontrar o ponto: O ponto é \( (-1, 4) \). 5. Calcular \( f(-1, 4) \): \[ f(-1, 4) = (-1)^2 + 3(-1)(4) + (4)^2 = 1 - 12 + 16 = 5 \] 6. Equação do plano tangente: A equação do plano tangente é dada por: \[ z = f(-1, 4) + f_x(-1, 4)(x + 1) + f_y(-1, 4)(y - 4) \] Calculando \( f_x(-1, 4) \) e \( f_y(-1, 4) \): \[ f_x(-1, 4) = 2(-1) + 3(4) = -2 + 12 = 10 \] \[ f_y(-1, 4) = 3(-1) + 2(4) = -3 + 8 = 5 \] Assim, a equação do plano tangente é: \[ z = 5 + 10(x + 1) + 5(y - 4) \] Simplificando: \[ z = 5 + 10x + 10 + 5y - 20 \implies z = 10x + 5y - 5 \] Portanto, o plano tangente ao gráfico de \( f \) que é paralelo ao plano \( z = 10x + 5y + 15 \) é: \[ z = 10x + 5y - 5 \]