Para analisar a função \( f(x, y) = \sqrt{|xy|} \) e calcular as derivadas parciais em \( (0, 0) \), vamos seguir os passos: 1. Cálculo de \( f(0, 0) \): \[ f(0, 0) = \sqrt{|0 \cdot 0|} = \sqrt{0} = 0. \] 2. Cálculo da derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h \cdot 0|}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0. \] 3. Cálculo da derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{|0 \cdot k|}}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0. \] Portanto, concluímos que: \[ f_x(0, 0) = 0 \quad \text{e} \quad f_y(0, 0) = 0. \] Assim, as derivadas parciais da função \( f \) em \( (0, 0) \) são ambas iguais a zero.