trabalho calculo númerico

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ 
INSTITUTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DAS ÁGUAS 
BACHARELADO EM ENGENHARIA SANITÁRIA E AMBIENTAL 
COMPONENTE CURRICULAR CÁLCULO NÚMERICO 
 
 
 
RENATA HIPÓLITO 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA P1 
 
Trabalho apresentado ao 
componente curricular Calculo 
Numérico, como requisito básico 
para obtenção de nota e avaliado 
pelo professor: Claudir Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santarém-PA 
Janeiro/ 2017 
1 – Calcule a aproximação para valor da integral definida I= ꭍ1-1 2x dx pela regra de 
Simpson. Compare com a solução analítica. 
Resolução 
 
Dada a equação 
 I= ꭍ-11 2x dx 
Onde: 
a= 1 
b= -1 
Então: 
h= 1 - (-1) = 1 
 2 
Pelo regra de Simpson: 
f (a)= 2x→2-1 =0,5 
f (b)= 2x→ 21= 2 
f (xi) = 2x → 20 = 1 
Aplicando na fórmula: 
h x ( f (a) + f (x) + f ( b) )= 
3 
 
Substituindo valores: 
 
S= 1 x ( 0,5 + 4. (1) + 2)= 
 3 
S= 2,166. 
Comparando com a solução analítica, aplica-se a seguinte fórmula: 
( 1 ) x 2x → (1) x 21 – (1) x 2-1 = 2,164. 
 ln ln2 ln2 
 
 
 
 
 
 
2 – Obtenha uma aproximação para a solução da equação f(x) =5 –xe = 0 pelo método de 
Newton. Utilize x0=1 e 3 iterações como critério de parada. 
 
Resolução 
 
Dada a equação: 
 
f(x) = 5 – x e x =0 
 
f (x) =5 –x ex 
 
Onde: 
 
f’ (x)= 1 –e x + e x (x) 
f’ (x)= e x - x e x 
 
Substituindo, temos: 
 
x² = 1,42 (5-1,42 e 1,42) 
 (-e1,42 – 1,42e1,42) 
 
x² = 1,42 + (0,8747) 
 (- 4,137 – 5,875) 
 
x2 = 1,42 + 0,8747 = 1.333 
 -10,012 
Então temos; 
 
x3 = x2 – f (x2) 
 f (x2) 
 
x3 = 1.393 – (5 - 1.333 e1.333) 
 (- e1.333 – 1.333. e1.333) 
 
x3 = 1.333 + 0,055 
 - 3,792 – 5,040 
 
x3 = 1.333 + 0,055 = 1,327 
 - 8,832 
 
Aplicando o método de Newton 
 
x0 =1 
K =3 
n = 0 
 
xn + 1 = Xn – f ( xn ) 
 f‘( xn ) 
 
x1 = x0 - f ( x0 ) 
 f ( x0 ) 
 
x1 = 1 – ( 5 – 1 e1) 
 (- e1 – (1) e1) 
 
x1 = 1 – 2,283 
 -2,718 – 2,718 
 
x1 = 1 – 2,282 = 1,420 
 -5.437 
3 – Resolva o sistema de equações algébricas lineares abaixo empregando o método de 
Gauss-Seidel. Utiliza como estimativa inicial x01= X2
0 = x03 = 0. Calcule a x1,x2,X3 em 
apenas 2 interações. 
3x1 - x2 + 5x3 = 2 
x1 + 2x2 – x3 = 4 
4x1 + x2 + 2x3 
Resolução 
 
Dada a formulação do sistema de equações lineares: 
 
3x1 - x2 + 5x3 = 2 
x1 + x2 - x3 = 4 
4x1 + x2 + 2X3= 6 
 
Onde : 
 
X1
0 = 0 
 
X2
1 = 0 
 
X3
1 = 0 
 
Organizando o sistema para os maiores números ficarem na diagonal. 
 
Então temos: 
 
4x1 - x2 + 2x3 = 6 
x1 - 2x2 - x3 = 4 
3x1 + x2 + 5x3 = 2 
 
Onde: 
 
X1
0 = 0 
X2
0 = 0 
X3
0 = 0 
Aplicando no método de Gauss Seidel, temos: 
 
X1 
k+1 = 6 - 1x2
k - 2x3 
k= 
 4 
 
X2 
k+1 = 4 – x1k +1 - x3k = 
 2 
X3 
k+1 = 2 - 3x1
k +1 – x2 k +1 = 
 5 
Para calcular o K=0, faz-se o seguinte: 
 
K= 0 → x1= 0 
 x2= 0 
 x3= 0 
 
X1
K+1 = = 6 – (1x2 - 2x3) →6 – (1x0 + 2x 0) = 1,5 
 4 4 
 
X2 
k+1 = 4 – (x1k +1 - x3k ) → 4 – (1x 5- 0) = 1,25 
 2 2 
 
X3 
k+1 = 2 – (3x1k +1 – x2 k +1) → 2 – (3 x 1.5 – 1, 25) = -0, 25 
 5 5 
 
 Para calcular o K=1, faz-se o seguinte: 
 
K = 1 → x1= 1,5 
 x2= 1,25 
 x3= 0,25 
 
X1
K+1 = = 6 – (1x2 - 2x3) →6 – (1x 1,25 + 2x (-0,25) = 1,312 
 4 4 
 
X2 
k+1 = 4 – (x1k +1 - x3k ) → 4 – (1x 1,312- (-0,25 ) = 1,219 
 2 2 
 
 
 X3 
k+1 = 2 – (3x1k +1 – x2 k +1) → 2 – (3 x 1,312 – 1 x 1, 219 ) = -0,143 
 5 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Uma das soluções para os resíduos de material nuclear é colocá-los em barris especiais 
e depositados no fundo do oceano. Se os recipientes permanecerem intactos, a 
contaminação do ambiente circundante é mínima. Resolvendo as equações de movimento 
para os barris à medida que eles descem na água, chega-se à seguinte relação entre, a 
velocidade de impacto v e a profundidade da água D. 
 
D= 4,882[ 30039x ln (1 + 0,08 v) - 42,16 v] 
 57 
(a) Determine a velocidade de impacto v usando o método da bisseção, quando os barris 
são lançados numa zona cuja profundidade é D = −300. Utilize como aproximações 
iniciais v1 = 45 e v2 = 49 em apenas 3 iterações. 
(b) Através de experiências, mostrou-se que os barris se danificam se a velocidade de 
Impacto com o fundo do oceano for superior a 40. Na situação da alínea anterior, haverá 
risco de contaminação? Justifique. 
Resolução 
 
a) Dada a equação 
 
D= 4,882 [30039x ln (1 + 0,08 v) - 42,16 x v] 
 57 
Onde: 
 
D= -300 
V1= 45 
V2= 49 
 
Primeiramente faz-se a mudança de variável, onde: 
v→x e D→f. 
 
Apartir da expressão -300 = f(x), escreve-se dessa forma: f(x)=0,i,e, 
Então: 
 
D= 4,882[ 30039x ln (1 + 0,08 v) - 42,16 x v] 
 57 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1 + 0,08 v) - 42,16 v] +300=0 
 57 
 
 
 
 
 
Aplicando o método da bisseção 
 
k a b xk f(xk) 
01 45 49 47 -5,693 
02 45 47 46 6,9167 
03 46 47 46,5 0,643 
 
Então: x = 46,5 
 
Para calcular o Xk, utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
1º Iteração 
 
X= b + a→ 49 + 45 = 47 
 2 2 
 
Onde para calcular o f (Xk), usa-se a seguinte fórmula: 
 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1 + 0,08 v) - 42,16 x v] +300=0 
 57 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1 + 0,08 x 47 ) - 42,16 x 47 ] +300=0 
 57 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1.065964912) – 1981,52 ] +300=0 
 
f (x) = -5,693 
 
2º Iteração 
 
X= b + a→ 47 + 45 = 46 
 2 2 
 
Onde para calcular o f (Xk), usa-se a seguinte fórmula: 
 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1 + 0,08 v) - 42,16 x v] +300=0 
 57 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1 + 0,08 x 46 ) - 42,16 x 46] +300=0 
 57 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1.064561404) – 1939,36] +300=0 
f (x)= 6,9167 
3º Iteração 
X= b + a→ 47 + 46 = 46,5 
 2 2 
 
 
 
Onde para calcular o f (Xk), usa-se a seguinte fórmula: 
 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1 + 0,08 v) - 42,16 x v] +300=0 
 57 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1 + 0,08 x 46,5 ) - 42,16 x 46,5] +300=057 
f (x) = 4,882[ 30039x ln (1.065263158) – 1960,44] +300=0 
f (x) = 0,643. 
 
a) Sim, nas condições da alínea anterior, há risco de contaminação porque a velocidade 
de impacto é v ≈ 46.5, que é superior a 40, logo os barris são danificados.