Para que a função \( f(x) = (a + 1)x^2 - 2ax + a + 5 \) tenha duas raízes reais, o discriminante da equação quadrática deve ser maior que zero. O discriminante \( \Delta \) é dado por: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Neste caso, temos: - \( a = a + 1 \) - \( b = -2a \) - \( c = a + 5 \) Substituindo na fórmula do discriminante: \[ \Delta = (-2a)^2 - 4(a + 1)(a + 5) \] Calculando: \[ \Delta = 4a^2 - 4[(a + 1)(a + 5)] \] \[ = 4a^2 - 4(a^2 + 6a + 5) \] \[ = 4a^2 - 4a^2 - 24a - 20 \] \[ = -24a - 20 \] Para que a função tenha duas raízes reais, precisamos que \( \Delta > 0 \): \[ -24a - 20 > 0 \] \[ -24a > 20 \] \[ a < -\frac{20}{24} \] \[ a < -\frac{5}{6} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( a > -4 \) - Não é a correta. b) \( a = -\frac{5}{4} \) - Não é a correta. c) \( a < -5 \) - Pode ser verdadeira, mas não é a única condição. d) \( a > -\frac{5}{4} \) - Não é a correta. e) \( a < -\frac{5}{4} \) - Esta é uma condição mais restritiva que a encontrada. Portanto, a alternativa correta é: e) \( a < -\frac{5}{4} \).