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Considerando essas informações e seus conhecimentos de limites, quando o limite em funções de duas variáveis existe é porque:

f(x,y) está definido em (a,b).
existe pelo menos um caminho que se aproxima de (a,b) e converge para um número real L.
os limites laterais por x e por y convergem para a mesma constante, isto é, a é igual a b.
o limite por todos os caminhos que se aproximam de (a,b) convergem para a mesma constante L.
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Estudo Através de Questões

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AV2 - CALCULO VETORIAL E EDO
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Para determinar quando o limite de uma função de duas variáveis existe, precisamos considerar algumas condições fundamentais. Analisando as opções: 1. f(x,y) está definido em (a,b) - Isso é necessário, mas não suficiente para garantir a existência do limite. 2. existe pelo menos um caminho que se aproxima de (a,b) e converge para um número real L - Isso não garante que o limite exista, pois pode haver outros caminhos que não convergem para L. 3. os limites laterais por x e por y convergem para a mesma constante, isto é, a é igual a b - Essa afirmação não é correta, pois os limites laterais não são uma condição suficiente para a existência do limite em duas variáveis. 4. o limite por todos os caminhos que se aproximam de (a,b) convergem para a mesma constante L - Esta é a condição correta. Para que o limite exista, é necessário que, independentemente do caminho que se tome para se aproximar de (a,b), o limite deve convergir para o mesmo valor L. Portanto, a alternativa correta é: o limite por todos os caminhos que se aproximam de (a,b) convergem para a mesma constante L.

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Derivar em três variáveis é o mesmo procedimento que derivar para duas. Considere as outras variáveis como constantes e use as técnicas de derivação convencionais. Por exemplo, para f(x,y)=x+y+1, a derivada em y é fy (x,y)=1. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, analise as afirmativas a seguir. I. A derivada em relação a z da função f(x,y,z)=x²+y²+z² é fz (x,y,z)=2z. II. A derivada em relação a x da função f(x,y,z)=sen(√(x²+y²+z²)) é fx (x,y,z)=cos(√(x²+y²+z²))/(2√(x²+y²+z²)). III. A derivada em relação a y da função f(x,y,z)=ln(xyz) é fy (x,y,z)=1/y. IV. As primeiras derivadas de f(x,y,z)=e^(x+y+z) são iguais. Está correto apenas o que se afirma em:

II, III e IV.
I, II e IV.
II e IV.
I, III e IV.

Para calcular o divergente de um campo vetorial, primeiro se faz a derivada parcial das componentes em suas respectivas direções (lembrando que i, j e k representam as componentes nas direções de x, y e z). Depois, essas derivadas parciais são somadas, resultando em um campo escalar. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais divergentes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xzi+xyzj-y²k, o divergente é ∇∙F=zi+xzj. II. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xyz i-x²yk, o divergente é ∇∙F=yz. III. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=cos(xz)j-sin(xy)k, o divergente é ∇∙F=0. IV. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=e^x sin(y)i+e^x cos(y)j+zk, o divergente é ∇∙F=2e^x sin(y)+1. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:

F, V, V, F.
V, F, F, V.
V, V, F, F.
F, F, V, V.
V, F, V, F.

Uma função é uma regra que associa elementos de dois conjuntos. Assim como em funções de uma variável, para funções de várias variáveis há os conceitos de domínio e contradomínio. Sendo o domínio os elementos de “entrada” da regra e o contradomínio os de “saída”. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas variáveis e conjuntos, analise as afirmacoes a seguir. I. O par ordenado (-2, 1) pertence ao domínio da função f(x,y) = √(x+y). II. O contradomínio da função f(x,y) = √(x+y) é o conjunto dos reais positivos. III. O par ordenado (-2,-2) pertence ao domínio da função f(x,y) = √(x²+y²). IV. As relações {(0,1)≥0, (0,2)≥1, (0,2)≥3} representam uma função de duas variáveis. Está correto apenas o que se afirma em:

I e II.
II e III.
II e IV.
I, III e IV.

Para fazer o esboço de uma função, um dos primeiros passos é entender onde a função cruza os eixos das coordenadas cartesianas. Para se determinar isso, basta zerar as outras variáveis referentes aos outros eixos. Por exemplo, f(x,y)=x+y²-3, fazendo y=0, temos f(x,0)=x-3. Fazendo f(x,0)=0, temos que a função cruza o eixo x em x=3. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). I. ( ) A função f(x,y)=1 não cruza os eixos x e y. II. ( ) A função f(x,y)=1-x-y cruza os eixos x e y respectivamente em x=1 e y=1. III. ( ) A função f(x,y)=√(x²+y²) cruza o eixo y em y=1. IV. ( ) A função f(x,y)=√(16+x²+y²) cruza o eixo z em f(0,0)=4.

V, V, F, V.
V, V, V, F.
F, V, F, V.
V, V, F, F.
V, F, V, F.

Em funções de uma variável, uma função é contínua quando, para todo a pertencente ao domínio da função. Isto é, o limite da função no ponto existe, a função no ponto está definida e ambos são iguais para todo ponto do domínio. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre continuidade de funções de várias variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. Uma função f(x,y) é contínua quando para todo (a,b) pertencente ao domínio. II. A função é contínua no domínio. III. A função definida por partes f é descontínua. IV. A função definida por partes é descontínua. Está correto apenas o que se afirma em:

II, III e IV.
I, II e IV.
I e II.
II e IV.

O conhecimento da natureza de um objeto matemático permite uma manipulação algébrica desse objeto de forma mais precisa. No caso dos campos gradientes, divergentes e rotacionais, o conhecimento acerca de suas naturezas é fundamental para manipulá-los entre si. Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca da natureza dos campos gradientes, divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) Um campo gradiente é um campo vetorial. II. ( ) Um campo rotacional é um campo vetorial. III. ( ) Um campo divergente é um campo vetorial. IV. ( ) Um campo divergente em R³ é escrito na forma ∂A/∂x + ∂B/∂y + ∂C/∂z. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:

V, V, F, V.
V, V, F, F.
F, V, F, V.
V, F, V, F.
V, F, F, F.

Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: I. ( ) A derivada de f(x,y)=sin⁡xy em relação a x é fx (x,y)=cos⁡xy. II. ( ) A derivada de f(x,y)=(x2+y2 )2 em relação a y é fy (x,y)=4y (x2+y2 ).

V, F, V, F.
V, V, V, F.
F, V, F, V.
V, F, F, V.

Está correto apenas o que se afirma em: I. O domínio da função f(x,y,z)=√(1-x²-y²-z²) é D={(x,y,z) | x²+y²+z²≥1}. II. Funções de três variáveis podem ser representados em um espaço de três dimensões. III. As curvas de nível de uma função de três variáveis podem ser representadas em um espaço de três dimensões. IV. O domínio da função f(x,y,z)=√(16-x²-y²)/(x-z+2) é D={(x,y,z) | x²+y²≤16 e z≠x+2}.

I, II e III.
I, III e IV.
II e IV.
I e II.
I, II e IV.

Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). I. ( ) A derivada de f(x,y)=x2 y+x3 y2+4y+1 em relação a x é fx (x,y)=2xy +3x2 y2. II. ( ) A derivada de f(x,y)=x2 y+x3 y2+4y+1 em relação a y é fy (x,y)=x2+2x3 y. III. ( ) A derivada de f(x,y)=sin⁡xy em relação a x é fx (x,y)=cos⁡xy. IV. ( ) A derivada de f(x,y)=(x2+y2 )2 em relação a y é fy (x,y)=4y (x2+y2 ).

F, V, F, V.
V, F, V, F.
V, V, V, F.
V, V, F, F.

Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: I. ( ) O domínio da função f(x,y) =√(x+y)/(x-1) x é D = {(x, y) | x+y≥0 e x≠1}; II. ( ) O domínio da função f(x,y)=ln⁡ (y^2-x) é D = {(x, y) | x≥y²}; III. ( ) O domínio da função f(x,y) = x²-y² é D = R² (todo par ordenado real); IV. ( ) O domínio da função f(x,y)=1/√(4-x+y) é D = {(x,y) | x-y ≥4}.

V, V, F, F.
F, V, V, F.
V, F, V, F.
V, V, V, F.
F, V, F, V.

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