Para resolver a expressão \(-\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\), vamos analisar as condições dadas: 1. \(x\) é um número natural tal que \(1 < x < 25\). Portanto, \(x\) pode assumir valores de 2 a 24. 2. \(y\) é um número inteiro negativo e maior que -19, ou seja, \(y\) pode ser -18, -17, -16, ..., até -1. A expressão pode ser reescrita como: \[ -\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{y^2 - x^2}{xy} \] Para maximizar essa expressão, precisamos maximizar \(y^2 - x^2\) e minimizar \(xy\). - O maior valor de \(y\) que podemos usar é -1 (o que minimiza o denominador, já que \(y\) é negativo). - O menor valor de \(x\) que podemos usar é 2 (o que maximiza o numerador). Substituindo \(x = 2\) e \(y = -1\): \[ y^2 - x^2 = (-1)^2 - (2)^2 = 1 - 4 = -3 \] \[ xy = 2 \cdot (-1) = -2 \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \] Agora, testando outros valores de \(x\) e \(y\) para ver se conseguimos um valor maior: Se \(x = 3\) e \(y = -1\): \[ y^2 - x^2 = (-1)^2 - (3)^2 = 1 - 9 = -8 \] \[ xy = 3 \cdot (-1) = -3 \] A expressão se torna: \[ \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3} \approx 2.67 \] Continuando esse processo, ao testar \(x = 24\) e \(y = -1\): \[ y^2 - x^2 = (-1)^2 - (24)^2 = 1 - 576 = -575 \] \[ xy = 24 \cdot (-1) = -24 \] A expressão se torna: \[ \frac{-575}{-24} = \frac{575}{24} \approx 23.95 \] Após testar várias combinações, o maior valor que encontramos foi \(\frac{575}{24}\). Portanto, a resposta correta é: d) 575/24.