Para determinar a forma do operador linear \( T \) dado os valores próprios e os vetores associados, precisamos usar as informações fornecidas. Os valores próprios são: - \( \lambda_1 = 2 \) com vetor associado \( v_1 = (1, -1) \) - \( \lambda_2 = -3 \) com vetor associado \( v_2 = (-1, 0) \) O operador linear \( T \) pode ser expresso em termos dos vetores próprios e seus valores próprios. Assim, temos: 1. Para o vetor \( v_1 \): \[ T(v_1) = \lambda_1 v_1 = 2(1, -1) = (2, -2) \] 2. Para o vetor \( v_2 \): \[ T(v_2) = \lambda_2 v_2 = -3(-1, 0) = (3, 0) \] Agora, precisamos expressar \( T(x, y) \) em uma forma que combine esses resultados. Para isso, podemos considerar uma combinação linear dos vetores próprios. Vamos analisar as alternativas: a) \( (????, ????) = (-???? -3????, 5) \) b) \( (????, ????) = (-3???? -2????, 2????) \) c) \( (????, ????) = (3???? +5????, ????) \) d) \( (????, ????) = (-3???? -5????, 2????) \) e) \( (????, ????) = (-???? +4????, -????) \) Nenhuma das alternativas parece se encaixar diretamente nos resultados que encontramos. No entanto, precisamos considerar que a forma de \( T(x, y) \) deve ser uma combinação linear que respeite os vetores próprios e seus valores. Após uma análise cuidadosa, a alternativa que mais se aproxima de uma transformação linear que respeita os vetores próprios e seus valores é a d) \( (????, ????) = (-3???? -5????, 2????) \). Portanto, a resposta correta é a alternativa d).